J'ai récemment eu le plaisir de voir le film The Imitation Game assisté. À propos d'Alan Turing, qui considérait le craquage du code des machines Enigma comme un grand puzzle. J'ai moi-même toujours été très intéressé par les puzzles, et en particulier ces types de puzzles où vous avez les 2 questions suivantes :(1) ne manque-t-il pas une pièce dans le devoir ? et (2) comment démarrez-vous quelque chose comme ça ? Voici un exemple que je connais depuis longtemps :
L'énigme des moines
Dans un monastère où les moines ont fait vœu de silence, l'abbé fait un jour une annonce. Il raconte qu'un certain nombre de moines ont contracté une maladie et que cette maladie se manifeste par des taches sur le visage. Il demande donc aux moines infectés de quitter le monastère pour se faire soigner. Parce qu'il n'y a pas de miroirs dans le monastère et que les moines ne sont pas autorisés à communiquer entre eux, les moines ne peuvent pas découvrir par eux-mêmes s'ils ont la maladie. Les moines se voient une fois par jour lors des prières du matin. Le lendemain de l'annonce, tous les moines sont encore là, le deuxième jour aussi, et ainsi de suite, jusqu'au neuvième jour inclus. Le dixième jour après l'annonce, à la prière du matin, il n'y a aucune trace des moines infectés. Combien y avait-il alors de moines infectés ?
Je ne vais pas donner la réponse ici, pensez-y d'abord par vous-même. Je veux dire une chose :pour pouvoir résoudre l'énigme, vous devez vous mettre à la place d'un des moines, pour ainsi dire. Et vous pouvez supposer que les moines peuvent raisonner parfaitement logiquement.
Alors que je participais au cours de mathématiques de vacances organisé par la Plateforme Wiskunde Nederland en août de l'année dernière, un cours de deux jours pour les enseignants du secondaire (ça vaut toujours le coup !), je suis entré en contact avec Hans van Ditmarsch, qui enseigne, et j'ai vient de terminer un livre au titre intrigant :100 prisonniers et une ampoule. Le livre contient toutes sortes de puzzles logiques similaires. entre autres celui-ci, d'où le livre tire son titre :
Cent prisonniers et une ampoule
Un groupe d'une centaine de détenus, réunis à la cafétéria de la prison, est informé qu'ils seront tous placés en cellule d'isolement puis interrogés un par un, dans une pièce munie d'une lampe avec interrupteur marche/arrêt. Les prisonniers peuvent communiquer entre eux en allumant ou en éteignant la lampe (c'est la seule façon pour eux de communiquer). La lampe est éteinte au début. Il n'y a pas d'ordre d'interrogatoire fixe, il n'y a pas de durée standard entre les interrogatoires et le même détenu doit être interrogé plusieurs fois de suite. Lorsqu'il est interrogé, un détenu peut :ne rien faire, éteindre la lampe, allumer la lampe, ou déclarer que tout le monde a été interrogé (au moins une fois). Si cela est vrai, tous les prisonniers seront libérés. Sinon, ils seront tous pendus. Tant que les détenus sont encore ensemble à la cafétéria et n'ont pas été emmenés dans les cellules d'isolement, les détenus peuvent-ils convenir d'un protocole selon lequel ils seront libérés ?
La réponse est oui. Comment sont-ils censés faire ça ? Si vous connaissez une bonne stratégie, n'hésitez pas à nous la partager, en réponse à ce blog.
Hans van Ditmarsch et Barteld Kooi, Cent prisonniers et une ampoule , Editions Epsilon, Utrecht (2013) 105 pages.
Ce livre contient 9 énigmes logiques. Non seulement les deux que vous trouvez ci-dessus, mais aussi, par exemple, le problème des trois portes de Monty Hall, qui a récemment été à nouveau évoqué sur ce site de blog :ici et ici. Chacune des neuf énigmes est d'abord présentée, parfois divisée en sous-énigmes, et enfin résolue. Le lecteur n'obtient pas seulement la réponse, il doit y travailler. Les variantes sont souvent discutées et vous en apprendrez également beaucoup sur l'origine des puzzles. Il s'avère que le puzzle des 100 prisonniers est apparu pour la première fois (sur Internet) en 2002.
Au dos du livre, vous trouverez les solutions aux énigmes partielles.
Ce qui est typique des énigmes de ce livre, c'est ce que les auteurs eux-mêmes expriment dans l'introduction :les énigmes en question ont toutes cet aspect particulier qu'il faut penser à ce que pense quelqu'un d'autre, ou, plus précisément, qu'elles portent sur ce que vous savoir ce que quelqu'un d'autre sait.
Une traduction anglaise de ce livre sera publiée prochainement.
Un livre surprenant.
Densité de la formule : Θ Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Quelques biographies sont récemment apparues dans la série Scientific Biography de Veen Media que vous devez lire en tant que mathématicien.
Le premier livre parle de John Von Neumann (1903-1957), l'un des plus grands mathématiciens du siècle dernier. Il y a une anecdote bien connue à son sujet et elle traite de la solution du problème du jet fly :
Deux trains circulent en sens inverse sur la même voie, à une vitesse de 50 km/h. Dès qu'ils sont à 100 km l'un de l'autre, une mouche à 75 km/h décolle en tête d'un train, vole vers l'autre train, quand elle y arrive elle fait demi-tour, repart, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle soit écrasée par la collision des deux trains. Combien de kilomètres la mouche a-t-elle parcouru ?
Lorsque cette énigme a été présentée à Von Neumann, il a immédiatement donné la bonne réponse :75 km. Lorsqu'on lui a demandé exactement comment il avait fait cela, il a répondu :J'ai résumé la série. En effet, si vous calculez la somme de toutes les distances aller-retour parcourues par la mouche, alors cette somme contient une infinité de termes, et le résultat final est de 75 km. Mais ce n'est pas le chemin le plus court pour résoudre ce problème. Von Neumann était un génie des mathématiques, avec une forte mémoire.
Von Neumann est surtout connu pour son rôle dans le projet Manhattan, dans le développement de la théorie des jeux et dans la construction du premier ordinateur électronique (ENIAC). Et par quelques déclarations :
Jeune homme, en mathématiques, tu ne comprends rien. On s'habitue juste à eux.
Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée .
Il y a probablement un Dieu. Beaucoup de choses sont plus faciles à expliquer s'il y en a que s'il n'y en a pas.
Giorgio Israel et Ana Millán Gasca, Von Neumann. La riche vie d'un mille-pattes mathématicien. Veen Media (2014) 160 pages.
Comme d'habitude, cette série contient à nouveau une biographie approfondie de l'enfant prodige John Von Neumann, une figure très importante des mathématiques du XXe siècle. Le livre n'est pas si facile à lire et il n'y a pas beaucoup de place pour les nombreuses anecdotes connues sur Von Neumann. Assurez-vous de lire le livre de 1992 de William Poundstone, Le dilemme du prisonnier.
Livre magnifiquement illustré.
Densité de la formule : Ο Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Ο Ο Ο Ο
Score : Θ Ο Ο
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) est surtout connu comme encyclopédiste. 
Avec Diderot, il publie l'une des premières encyclopédies, l'Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers.
Nos étudiants le connaissent de la marque Convergente d'Alembert , un théorème avec lequel vous pouvez vérifier la convergence d'un certain type de série de nombres. Il est également souvent mentionné en relation avec l'important théorème principal de l'algèbre , qui dit que tout polynôme non constant de degré n à coefficients complexes et à 1 variable a au moins 1 zéro complexe. d'Alembert a été le premier à tenter de prouver cela, mais sa preuve était incomplète.
En mécanique, il est connu pour le principe de d'Alembert. Vous pourrez en savoir plus sur lui dans le prochain livre.
Pierre Crépel et al., D'Alembert. Mathématicien doué des Lumières , Veen Media (2014) 160 pages.
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) a vécu une période très intéressante, avec des contemporains comme Leonhard Euler et Daniel Bernoulli. Cette biographie met en lumière les différentes facettes de cette personnalité. Vous avez lu, par exemple, que d'Alembert a été le premier à décrire mathématiquement le mouvement d'une corde vibrante (à l'aide d'une équation aux dérivées partielles), mais aussi qu'il s'est disputé avec tout le monde.
Le livre est magnifiquement illustré, avec une bande horaire à l'avant montrant les événements les plus importants de sa vie.
Densité de la formule : Θ Θ Ο Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Et ceci vient d'arriver :
Julian Havil, John Napier. Vie, logarithmes et héritage , Princeton University Press (2014) 279 pages.
Un livre sur le mathématicien écossais John Napier (1550-1617), l'homme du logarithme népérien † John Napier était un homme polyvalent. Le premier livre qu'il a écrit était une analyse approfondie du livre biblique de l'Apocalypse, montrant que le catholicisme était le mal et le pape l'Antéchrist. Napier lui-même était protestant.
Son prochain livre était Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614), dans lequel il décrit une méthode pour réduire la multiplication des nombres au calcul des sommes. Napier était le père des tables de logarithmes, qui étaient utilisées efficacement jusqu'à récemment.
Il était également l'inventeur des Napier Bones , un ordinateur analogique avant la lettre.
Lisez ce livre, vous l'apprécierez. Vous pouvez sauter le chapitre sur l'Apocalypse.
Nous avons rencontré plusieurs fois l'auteur Julian Havil dans ce blog.
Densité de la formule : Θ Θ Θ Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Vous trouverez ici les solutions des énigmes en haut.
L'énigme des moines
Dans un monastère où les moines ont fait vœu de silence, l'abbé fait un jour une annonce. Il raconte qu'un certain nombre de moines ont contracté une maladie et que cette maladie se manifeste par des taches sur le visage. Il demande donc aux moines infectés de quitter le monastère pour se faire soigner. Parce qu'il n'y a pas de miroirs dans le monastère et que les moines ne sont pas autorisés à communiquer entre eux, les moines ne peuvent pas découvrir par eux-mêmes s'ils ont la maladie. Les moines se voient une fois par jour lors des prières du matin. Le lendemain de l'annonce, tous les moines sont encore là, le deuxième jour aussi, et ainsi de suite, jusqu'au neuvième jour inclus. Le dixième jour après l'annonce, à la prière du matin, il n'y a aucune trace des moines infectés. Combien y avait-il alors de moines infectés ?
Jour 0, le jour de l'annonce.
Supposons qu'il n'y ait qu'un seul moine malade. Alors il aurait quitté le monastère immédiatement :car il ne voit que des moines sains. Il y a donc certainement plusieurs moines malades.
Jour 1, le lendemain de l'annonce.
Supposons qu'il y ait deux moines malades. Ces deux moines ont vu exactement un collègue malade le jour 0 et se sont dit :nous ne le reverrons plus demain. Mais le lendemain, le moine en question est toujours prêt. La seule décision qu'ils peuvent prendre est :un deuxième moine est malade, c'est-à-dire moi-même.
Au cours de la journée, les deux moines quittent le monastère.
Jour 2.
Supposons qu'il y ait trois moines malades. Ces trois moines voient deux collègues infectés au jour 0 et au jour 1 et raisonnent parfaitement (comme ci-dessus) :avant le jour 2, ils sont partis. Si les deux marchent toujours autour du monastère le jour 2, alors ils savent qu'il doit y avoir un autre moine infecté, et ils ne peuvent être qu'eux-mêmes. Tous les trois arrivent le même jour.
Et ça continue comme ça.
Jour 9.
Seulement si au moins dix moines étaient malades, le monastère n'est pas encore exempt de germes le jour 9. En effet, à neuf heures ou moins, ils étaient tous partis pour la prière du matin du jour 9 en raison du raisonnement ci-dessus.
Si c'est le cas, il y en avait exactement dix, chacun de ces moines des jours 0 à 8 voit neuf autres moines malades. Tous les dix pensent au jour 8 :ils ne seront pas là demain. Et puis cela s'avère ne pas être vrai. La seule décision qu'ils peuvent prendre est qu'ils sont eux-mêmes infectés. Au cours du jour 9, tous les dix quittent le monastère.
Donc la réponse est :il y avait 10 moines infectés.
Un groupe d'une centaine de détenus, réunis à la cafétéria de la prison, est informé qu'ils seront tous placés en cellule d'isolement puis interrogés un par un, dans une pièce munie d'une lampe avec interrupteur marche/arrêt. Les prisonniers peuvent communiquer entre eux en allumant ou en éteignant la lampe (c'est la seule façon pour eux de communiquer). La lampe est éteinte au début. Il n'y a pas d'ordre d'interrogatoire fixe, il n'y a pas de durée standard entre les interrogatoires et le même détenu doit être interrogé plusieurs fois de suite. Lorsqu'il est interrogé, un détenu peut :ne rien faire, éteindre la lampe, allumer la lampe, ou déclarer que tout le monde a été interrogé (au moins une fois). Si cela est vrai, tous les prisonniers seront libérés. Sinon, ils seront tous pendus. Tant que les détenus sont encore ensemble à la cafétéria et n'ont pas été emmenés dans les cellules d'isolement, les détenus peuvent-ils convenir d'un protocole selon lequel ils seront libérés ?
Les détenus désignent entre eux quelqu'un que nous appellerons désormais le Teller.
Le protocole suivant s'applique à tous les détenus sauf le Teller :
Pour le compteur voici le protocole :
Essentiellement, cela signifie que chaque prisonnier, à l'exception du caissier, allume la lampe exactement une fois, à savoir la première fois qu'il est interrogé lorsque la lampe est éteinte. Le compteur éteint la lumière à chaque fois qu'il est allumé et compte combien de fois cela s'est produit. Parce que chaque prisonnier n'allume la lampe qu'une seule fois, il garde une trace du nombre de prisonniers qui ont déjà été interrogés à un moment donné. Si le caissier est interrogé et a déjà éteint la lampe 99 fois, tous les prisonniers ont été interrogés.
A noter :si exactement un détenu est interrogé par jour, il faut en moyenne 28,5 ans pour que le compteur atteigne 99 !
