Récemment, ma femme a exprimé le souhait de refaire notre salle de bain. Passionné par les motifs mathématiques du carrelage, j'ai préféré m'abstenir de participer au choix des carreaux. Finalement, des tuiles rectangulaires ont été sélectionnées (un peu monotones, dans une teinte différente).
Voici un exemple de carrelage aux lignes droites unies :
Cette disposition traditionnelle demande probablement plus d'efforts au carreleur :
J'ai une préférence pour le premier agencement avec carreaux carrés bicolores, comme dans notre salon :
La seconde variante est plus courante, visible dès la sortie :
Nos regards se portent immédiatement sur la partie gauche de la première photo, où une originalité audacieuse joue avec les rectangles. Intrigant, mais peut-être pas idéal pour une salle de bain :
L'un des livres lus récemment pendant les vacances mentionne : "Vous venez d'être embauché pour carreler une grande pièce (ne vous inquiétez pas, nous vous donnerons des conseils). Le propriétaire, cependant, ne veut pas que vous utilisiez des carreaux carrés ou rectangulaires ennuyeux."
Ce passage provient d'un ouvrage dédié aux nombres de 1 à 9, dans le chapitre sur le 5. L'auteur évoque Johannes Kepler, dont la salle de bain imaginée devait être bien différente :
Il s'agit d'une division périodique du plan découverte par Kepler, utilisant pentagones réguliers, pentagrammes et décagones fusionnés. Périodique signifie que le motif se répète. Cette découverte a inspiré Roger Penrose à inventer des pavages non périodiques au XXe siècle. Jusqu'aux années 1960, on pensait cela impossible. Voici un exemple avec deux types de tuiles : cerfs-volants et fléchettes :
Voici le livre :
Marc Chamberland, Chiffres uniques. Éloge des petits nombres. Princeton University Press, New Jersey (2015), 226 pages.
Ce livre explore les nombres de 1 à 9 à travers neuf chapitres. Les pavages de Penrose y sont abordés au chapitre 5, liés à l'intersection d'un hypercube 5D avec un plan irrationnel. Riche en anecdotes, de la loi de Benford (pour le 1) au théorème de Mihăilescu (ex-Catalan, prouvé en 2002, affirmant que 9 est la seule puissance parfaite entre deux puissances). Destiné à un public averti, sans être purement académique. J'y ai découvert de nombreuses curiosités.
Densité de formules : Θ Θ Θ Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Θ Ο
Note : Θ Θ Ο
Pour un public moins mathématique, je recommande :
Ian Stewart, Les nombres incroyables du professeur Stewart. Profile Books LTD, Londres (2015), 342 pages.
Dans la veine d'Ian Stewart, ce livre traite des nombres de 1 à 10 (Kepler et Penrose au 5), plus 0, -1 et i. Il couvre rationnels, irrationnels comme 466/885 (tours de Hanoï) ou ζ(3). Petits et grands entiers, infini et 42. Accessible aux mathématiciens amateurs, avec formules optionnelles. Pas d'index, mais une app primée en 2014.
Densité de formules : Θ Θ Ο Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Oubliez les carreaux carrés ou rectangulaires ! D'autres formes existent. Notez les places de parking pavées de quadrilatères variés (difficile à photographier, toujours occupées) :
Pourquoi pas comme au Caire ? À gauche, une rue ; à droite, son motif pentagonal unique. Tous les pentagones ne pavent pas : un régulier a des angles de 108°, somme impossible à 360°. Triangles et quadrilatères pavent toujours :
Certains pentagones convexes fonctionnent. Le 15e vient d'être découvert en juillet 2017 par Casey Mann, Jennifer McLoud et David Von Derau (Université de Washington Bothell). Marjorie Rice, mathématicienne amateur, en trouva en 1975. Pavage comme un puzzle monocrome :
Cette combinaison de trois carreaux (et son miroir) est un bloc de base :
Pour les hexagones, 3 types pavent (dont le régulier, comme les abeilles) :
Impossible pour heptagones et plus (convexes). Retour à la salle de bain : motifs frise ?
Avec motifs, classification par symétries. 7 types de frises pour alignement horizontal :
La frise photo a miroirs verticaux et rotation (type pmm). Autres : miroirs horizontaux (hop), rotation 180° (p2), glissement (step). Quel type ici ?
Avec pavage 2D : motifs mauresques, comme à l'Alcazar de Séville :
17 motifs de papier peint par symétries :
cm, pm, pg, p1, p2mm, c2mm, p2mg, p2gg, p2, p3m1, p31m, p3, p4mm, p4gm, p4, p6mm, p6. Quels pour Séville ?
Pour approfondir frises et motifs :
Jan van de Craats, Une passion pour la symétrie. Epsilon Éditions, Amsterdam (2015), 106 pages.
Excellent ouvrage sur symétries planaires, rosettes et sphériques. Sans formules, comme un guide pratique. Illustrations magnifiques, pour grand public. Photos de Séville p.75 (par Ineke van de Craats).
Densité de formules : Ο Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Ο Ο Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Pour mathématiciens avancés :
Franck A. Farris, Créer de la symétrie. Les mathématiques astucieuses des motifs de papier peint. Princeton University Press, New Jersey (2015), 230 pages.
Approche mathématique avec fonctions complexes et Fourier pour rosaces, frises, motifs. Hybride maths/art. Exemple : courbe mystère z = e^{it} + (1/2)e^{6it} + (i/3)e^{-14it}.
Densité de formules : Θ Θ Θ Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Θ Ο
Note : Θ Ο Ο
John Horton Conway, pionnier en la matière (auteur du Jeu de la Vie), mérite sa bio :
Siobhan Roberts, Génie en jeu. L'esprit curieux de John Horton Conway. Bloomsbury, New York (2015), 454 pages.
Journaliste scientifique, l'auteure suit Conway : génie excentrique (Archimède + Jagger + Dalí + Feynman). Inventeur de Sprouts. Enrichissant !
Densité de formules : Ο Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Ο Ο Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
