Récemment, j'ai été confronté à la demande de ma femme pour une nouvelle salle de bain. Le carrelage fait partie d'une salle de bain, et il y a du carrelage, et mon grand intérêt pour le carrelage mathématique et les sujets qui y sont liés m'a obligé à ne pas participer au choix du carrelage et du type de carrelage pour notre nouvelle salle de bain. Au final, une tuile rectangulaire a été choisie (plutôt ennuyeuse, elle est d'une autre couleur d'ailleurs) :
et pour un carrelage qui préfère les lignes droites unies :
La disposition suivante est également assez traditionnelle, ce qui donne probablement un peu plus de travail au carreleur :
J'ai moi-même une petite préférence pour le premier agencement, du moins en ce qui concerne les carreaux carrés et en deux couleurs, comme vous pouvez le voir sur cette photo de notre salon :
Mais la seconde est plus fréquente. Vous pouvez clairement le voir lorsque vous sortez :
Nos yeux, bien sûr, tombent immédiatement sur la partie gauche de la photo de gauche, où une improbable originalité se manifeste dans la manipulation des rectangles. Il a quelque chose, mais peut-être mieux pas dans la salle de bain :
L'un des livres que j'ai lu pendant ces vacances disait :
Vous venez d'être embauché pour carreler une grande pièce (ne vous inquiétez pas, nous vous donnerons des conseils). Le propriétaire, cependant, ne je ne veux pas que vous utilisiez des carreaux carrés ou rectangulaires ennuyeux.
Voici le prochain livre, qui traite en fait des nombres de 1 à 9. Vous trouverez la phrase ci-dessus dans le chapitre sur le chiffre 5. L'auteur parle de Johannes Kepler, dont la salle de bain devait être très différente :
Il s'agit d'une division périodique du plan, découverte par Kepler, qui utilise des pentagones réguliers, des pentagrammes et des décagones réguliers fusionnés. Périodique signifie que le motif se répète. Cette division des plans a inspiré Roger Penrose au siècle dernier à trouver des divisions non périodiques. Jusqu'en 1960 environ, on pensait que cela n'existait pas. Celui-ci en est un, avec deux types de tuiles, les soi-disant cerfs-volants et fléchettes :
Voici le livre :
Marc Chamberland, Chiffres uniques. Éloge des petits nombres. Princeton University Press, New Jersey (2015) 226 pages.
Comme le dit le titre :un livre sur les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il comporte donc neuf chapitres (+ 1 chapitre avec des solutions). Chaque chapitre traite d'un certain nombre d'items de mathématiques dans lesquels le numéro de ce chapitre joue un rôle prédominant. Les divisions de Penrose sont au chapitre 5 car on peut les trouver en intersectant un hypercube à 5 dimensions avec un plan irrationnel à deux dimensions... Le livre contient une mine d'informations, de la loi de Benford (pour le nombre 1) à la conjecture catalane de 1844, pendant ce temps (depuis 2002) le théorème de Catalan (qui dit que 9 est la seule puissance qui est exactement une unité différente d'une autre puissance). Le livre n'est pas destiné au mathématicien, mais certaines connaissances préalables sont nécessaires. Il y a aussi pas mal de formules dedans. Mais j'ai moi-même appris toutes sortes de choses intéressantes avec.
Densité de la formule : Θ Θ Θ Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Θ Ο
Note : Θ Θ Ο
Si vous êtes moins enclin aux mathématiques et que vous souhaitez lire un livre similaire, je peux vous recommander ceci :
Ian Stewart, Les nombres incroyables du professeur Stewart. Profile Books LTD, Londres (2015) 342 pages.
Comme nous en avons l'habitude chez Ian Stewart, un joli livre. La première partie concerne les petits nombres, les nombres de 1 à 10 (et à 5 on retrouve Kepler et Penrose). Aussi 0 et -1 obtiennent un chapitre, et l'unité imaginaire i. Mais cela ne s'arrête pas là :seuls les nombres rationnels et irrationnels sont passés en revue. Par exemple 466/885 (un nombre lié au problème des tours de Hanoï) et aussi ζ(3), la constante d'Apéry. On aborde ensuite quelques petits entiers (par exemple 17 :divisions !) et de grands entiers comme le plus grand nombre premier connu à ce jour. Et il y a aussi un chapitre sur l'infini et sur... 42. Ce livre vous est beaucoup plus utile en tant que mathématicien (que le précédent). Il y a aussi des formules dedans, mais elles ne sont pas indispensables. Surtout beaucoup de chiffres... Curieusement, le livre n'a pas d'index, et c'est un moins. Il existe également une application compagnon qui a remporté le prix de la meilleure application en 2014.
Densité de formule : Θ Θ Ο Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Ο Ο
Note : Θ Θ Ο
Fini les carreaux carrés ou rectangulaires ennuyeux, place à d'autres formes ! Et ils existent. Parfois, on ne pense absolument pas à la personne qui doit poser les carreaux. Notez les places de stationnement dans l'image suivante. (C'est pareil en vrai, mais difficile à photographier car c'est toujours plein de voitures.)
Les tuiles dans ce cas sont des quadrilatères, qui n'ont pas tous la même forme. Je ne sais pas à 100% combien il y en a de différents, mais il semble difficile de les exposer. Pourquoi ne pas faire comme au Caire ?
A gauche une photo d'une rue du Caire, à droite l'essentiel de celle-ci. Notez qu'il ne s'agit que d'un seul type de tuile, de forme pentagonale. Évidemment, toutes les tuiles pentagonales ne peuvent pas être utilisées pour carreler une rue. (Assurez-vous de jeter un coup d'œil ici.) Cela ne fonctionne pas avec un pentagone régulier, et la raison en est qu'un tel pentagone a des angles de 108 degrés, vous ne pouvez donc pas combiner ces angles pour obtenir 360 degrés. Cela fonctionne toujours avec des triangles. Voici un exemple de la façon de procéder :
Cela fonctionne toujours avec des quadrilatères, essayez-le. (Voir aussi ici.) Désormais nous nous limiterons aux polygones convexes. Parfois, cela fonctionne avec des pentagones. Par exemple, vous pouvez paver la rue avec la forme de dalle suivante :
Ce n'est que récemment que cela fonctionnera. Casey Mann, Jennifer McLoud et David Von Derau de l'Université de Washington Bothell l'ont découvert au mois de juillet. À l'heure actuelle, il existe 15 (familles de) pentagones différents connus avec lesquels vous pouvez carreler. Certaines d'entre elles ont été trouvées par Marjorie Rice, une mathématicienne amateur et femme au foyer, en 1975. Bien qu'il s'agisse de carreaux de la même forme, le carrelage n'est pas facile. Vous pouvez le comparer un peu avec un puzzle avec toutes les pièces blanches. Nous faisons quelques pas dans la bonne direction :
Cette combinaison de trois carreaux est un composant de base du carrelage, ainsi que son image miroir par rapport à cette ligne horizontale. Une fois qu'on sait ça, ça va plus vite :
et ainsi de suite. Concernant les hexagones :il existe 3 types d'hexagones avec lesquels vous pouvez carreler la surface. Bien sûr, cela va parfaitement avec un hexagone régulier, il suffit de regarder les abeilles. Et en général, pour les hexagones, il va dans l'un des trois groupes suivants :
Voici des exemples des trois cas :
Cela ne fonctionne pas avec les heptagones, les octogones ou d'autres polygones (convexes). Seulement dans le cas des pentagones il y a encore quelque chose à faire. Retour à la salle de bain. On aurait aussi pu choisir un décor en forme de frise (bande qui traverse le mur) :
Ensuite, nous parlons de tuiles avec un dessin. Il y a bien sûr une infinité d'options différentes, mais dans ce cas aussi on peut faire une sorte de classification, basée sur les symétries. Si nous supposons que nous plaçons toutes les tuiles égales les unes à côté des autres, comme indiqué sur la photo, nous obtenons un motif qui se répète dans le sens horizontal. Sur la base des symétries on peut alors réduire les frises possibles à 7 types, dont chacun porte un nom :
La frise sur la photo a des axes de miroir verticaux (y compris le saut en rotation), mais d'autres symétries sont également possibles, à savoir des axes de miroir horizontaux (saut), une rotation de 180 degrés (également appelée symétrie ponctuelle, voir saut en rotation), et un glissement réflexion (étape). Pouvez-vous voir de quel type il s'agit ?
Bien sûr, nous ne devons pas nous limiter à des tuiles égales (avec un dessin) qui sont côte à côte, nous pouvons également continuer à paver dans le sens vertical. Puis on se retrouve inévitablement chez les Maures, en Espagne par exemple. Ici vous pouvez voir deux photos prises dans l'Alcazar de Séville
Cela nous amène aux motifs de papier peint, dont il en existe dix-sept différents, reclassés selon les symétries :
De gauche à droite et de haut en bas, voici leurs noms :cm, pm, pg, p1, p2mm, c2mm, p2mg, p2gg, p2, p3m1, p31m, p3, p4mm, p4gm, p4, p6mm, p6. Pouvez-vous voir à quelle catégorie appartiennent les deux pavages de la photo ci-dessus ? Cet algorithme peut aider. Si vous êtes intéressé par les frises et les motifs de papier peint, et leurs symétries, je vous recommande le livre suivant :
Jan van de Craats, Une passion pour la symétrie † Epsilon Editions Amsterdam (2015) 106 pages.
Comme nous en avons l'habitude chez le mathématicien néerlandais (entre-temps émérite de l'Université d'Amsterdam), encore une fois un livre très bien écrit qui traite exactement des symétries dans le plan dont nous avons parlé ci-dessus, mais traite également des modèles de rosette et des modèles sphériques (le dernier en 3 dimensions). Assurez-vous de consulter les chiffres de cette présentation pour savoir à quoi vous attendre. Mais ne lisez pas le texte, car alors le plaisir que vous tirez du livre disparaît en partie. Jan van de Craats n'utilise pas de formules, le livre est une sorte de livre de recettes dans lequel on apprend à déterminer des formes et des motifs symétriques. Il a été écrit pour un large public. Et est magnifiquement illustré. Les deux photos de Séville de ce blog sont à la p. 75 (et ont été fabriqués par la femme de van de Craats, Ineke van de Craats - Oosterwold). Fortement recommandé pour les personnes ayant un esprit analytique qui souhaitent également voir le motif à travers les chiffres.
Densité de la formule : Ο Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Ο Ο Ο Ο
Score : Θ Θ Ο
Un mathématicien qui sait déjà tout cela appréciera certainement ce livre :
Franck Farris, Créer une symétrie. Les mathématiques astucieuses des motifs de papier peint. Princeton University Press, New Jersey (2015) 230 pages.Le sujet de ce livre est le même que celui du livre précédent, mais son traitement est beaucoup plus mathématique, donc certainement pas pour le profane. Avec des fonctions complexes et l'analyse de Fourier, par exemple, l'auteur montre ce que l'on peut faire avec des rosaces, des frises et des motifs de papier peint. Le résultat est un croisement entre un livre de mathématiques et un livre d'art :de belles formules, et aussi de belles images.
Tout commence par la courbe mystère suivante dont la symétrie ne correspond apparemment pas à la formule qui la définit :$$z=e^{it} + \frac{1}{2} e^{6 it} + \frac{i}{3} e^{- 14 it}$$ Vous voyez la courbe sur la droite. Vous apprendrez également, par exemple, comment convertir des photos en de beaux motifs symétriques. Un livre de mathématiques pour les mathématiciens, mais aussi un livre de table basse.
Densité de la formule : Θ Θ Θ Ο Ο
Difficulté : Θ Θ Θ Ο
Note : Θ Ο Ο
De nombreux travaux dans ce domaine des mathématiques ont été réalisés par le mathématicien John Horton Conway, que nous connaissons (à son grand dam) comme l'inventeur du jeu de la vie.
C'est un mille-pattes mathématique, et donc très intéressant d'écrire une biographie de :
Siobhan Roberts Génie en jeu. L'esprit curieux de John Horton Conway † Bloomsbury États-Unis, New York (2015) 454 pages.
L'auteur, Siobhan Roberts, est un journaliste scientifique qui a déjà publié une biographie du géomètre des géomètres, H.S.M. Coxeter, à son nom. Elle a suivi John Conway pendant un certain temps, littéralement, a fait des visites familiales et autres, et a appris de plus en plus sur la vie de Conway (qui n'attendait clairement pas sa biographie elle-même). Il est un croisement entre Archimède, Mick Jagger, Salvador Dali et Richard Feynman. Il est également gymnaste de la langue et l'un des inventeurs du jeu populaire Sprouts (and Brussels Sprouts). Voir aussi ici. Un homme remarquable. Très enrichissant !
Densité de la formule : Ο Ο Ο Ο Ο
Difficulté : Ο Ο Ο Ο
Score : Θ Θ Ο
