Le conte de La Belle au Bois Dormant prête à un paradoxe fascinant en probabilités.
La princesse est sur le point d'être enchantée par une fée maléfique. Elle dormira longtemps, mais la fée la réveillera une ou deux fois brièvement. Dès l'endormissement, la fée lance une pièce équilibrée : face pour un réveil, pile pour deux réveils.
Après chaque réveil, la fée lui administre une potion effaçant tout souvenir. La princesse est informée de la procédure avant le sort.
À son réveil, sans indice sur le nombre de réveils, quelle probabilité doit-elle attribuer à face ?
Les « demi-istes » arguent 1/2 : pièce équilibrée, et elle sait déjà être réveillée au moins une fois. Rien de nouveau.
Les « tiers-istes » défendent 1/3 : en répétant l'expérience, parier sur pile à chaque réveil gagne plus souvent, car deux réveils pour pile contre un pour face.
Je soutiens 1/3, mais l'argument du pari manque de rigueur : qui parierait sans connaître le résultat ? Ni la fée, ni un observateur.
Qu'apprécie la Belle au Bois Dormant à son réveil ? Qu'elle ne dort pas !
Ce problème, conçu par Arnold Zuboff en 1990 et publié en 2000, a suscité de vives débats. J'ai publié mon analyse en 2019 dans la revue Synthese.
Elle s'inspire du paradoxe des boîtes de Bertrand (1889). Trois boîtes : SS (deux pièces d'argent), GG (deux d'or), SG (mixte). Vous tirez une pièce d'or au hasard. Probabilité que l'autre soit en argent ?
Excluez SS. Restent GG et SG, équiprobables a priori. Mais P(or | GG) = 1, P(or | SG) = 1/2, donc P(SG | or) = 1/3.
De même pour La Belle : au réveil, elle sait ne pas dormir. Plus de temps endormie après pile, le réveil favorise pile (P(face | réveil) = 1/3).
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