Le mathématicien français Jacques Tits est décédé le 5 décembre à l'âge de 91 ans. Il était mondialement reconnu pour ses travaux fondateurs en théorie des groupes, récompensés par le prestigieux prix Abel.
Cet article a été écrit par le mathématicien Dirk Huylebrouck à l'occasion de la remise du prix Abel, et publié dans le magazine Eos en 2008.
Les mathématiciens du XXe siècle ont longtemps regretté l'absence d'un prix Nobel dédié à leur discipline, Alfred Nobel estimant qu'ils n'étaient pas assez appliqués au « bien de l'humanité ». La médaille Fields, créée en hommage au mathématicien canadien John Charles Fields, a comblé ce vide en partie : considérée comme un Nobel officieux, elle est décernée tous les quatre ans à des chercheurs de moins de 40 ans. Depuis 1978, le prix Wolf a offert une alternative, mais ce sont les Scandinaves qui ont résolu le problème en lançant en 2003 le prix Abel annuel, doté de 750 000 euros, un an après le bicentenaire de la naissance de Niels Henrik Abel (1802-1829).
Il faudra peut-être encore du temps et d'autres lauréats illustres pour que le prix Abel soit perçu comme l'équivalent Nobel des mathématiques. Jacques Tits en a reçu presque tous les honneurs, à l'exception de la médaille Fields pour laquelle il était trop âgé. Né le 12 août 1930 à Uccle (Bruxelles), orphelin de père (lui-même mathématicien) à 13 ans, il donne dès lors des cours particuliers à des élèves plus âgés. Après avoir séché quelques années scolaires, il est premier au concours d'entrée en ingénierie à l'ULB à 14 ans, entame des études de mathématiques et obtient son doctorat en 1950 à 19 ans. Il y reste jusqu'en 1964, passe par l'université de Bonn, puis intègre le Collège de France en 1973. Membre d'académies en France, aux États-Unis, en Belgique et aux Pays-Bas, il reçoit des doctorats honoris causa d'Utrecht, Gand, Bonn et Louvain-la-Neuve. Tout cela pour ses travaux sur les groupes et les bâtiments (voir encadré).
En 1974, Tits publie sa thèse fondamentale sur la reconnaissance des groupes complexes via des édifices géométriques, détaillée dans un ouvrage majeur. Le jury du prix Abel, comme celui du Nobel de physique, n'a pas exigé d'applications immédiates, mais elles existent aujourd'hui : ses bâtiments sont indispensables en géométrie moderne et en théorie du codage.
En mathématiques, une invention gagne souvent en intérêt au-delà de son objectif initial, comme en science ou en art. Demain, un lecteur CD pourrait arborer « Basé sur les bâtiments de Tits ». Tits lui-même affirmait : « Ce ne sont pas les applications qui font la beauté des mathématiques, mais les mathématiques qui rendent les applications belles. »
En Belgique, Jacques Tits est chéri par ses élèves, comme Francis Buekenhout (ULB émérite), Bernhard Mühlherr (ULB), Jean-Pierre Tignol (Louvain-la-Neuve) ou Hendrik Van Maldeghem (UGent). Ils se réjouissent de son prix Abel, le décrivant comme un homme affable, sans chichis et doté d'un humour pince-sans-rire. Lors d'un cours au Collège de France, alors que la moitié des lumières s'éteignait, il plaisanta : « La partie sombre du tableau est réservée aux erreurs. » Chez Mésanges, il brisa la solennité d'un dîner en criant : « Pour moi, une mousse au chocolat ! »
Tits a reçu le prix Abel pour « ses profondes réalisations en algèbre, et en particulier sa mise en forme de la théorie moderne des groupes ». Un groupe mathématique est une structure abstraite. Les entiers (0, 1, -1, 2...) en forment un sous l'addition.
Plus abstrait : pour un triangle ABC, définissons 'a' comme la réflexion sur la médiane par A, et 'b' comme une rotation de 120° antihoraire.
La composition d'opérations remplace l'addition. Avec 'n' (identité), a et b forment un groupe. Les règles diffèrent des entiers : a² = n, b³ = n, mais ab ≠ ba.
Comme pour un Rubik's Cube, certains maîtrisent intuitivement. Les mathématiciens abstraitisent : un cristal est défini par son groupe de symétries, indépendamment de sa taille.
Un groupe plus complexe vérifie : n = a² = b³ = (ab)¹³ = (a⁻¹b⁻¹ab)⁵ = (a⁻¹b⁻¹a⁻¹b⁻¹abab)⁴ = (abababa-bab⁻¹)⁶. Tits l'a nommé « groupe des Seins », clin d'œil ludique.
Sa « théorie des bâtiments » décortique les groupes abstraits en « appartements » et « chambres ». Inspirée des groupes de Lie (Sophus Lie), elle généralise les polyèdres réguliers en dimensions supérieures, rebaptisés « bâtiments ».
Les bâtiments satisfont des axiomes géométriques stricts. Tits a prouvé que certains groupes de Lie complexes se reconnaissent par ces structures. Son traitement du groupe E₈, via la « construction du carré magique », intrigue la physique (théorie du tout).
