Le nombre 42 : De la réponse ultime de Douglas Adams aux mystères mathématiques

Les mystères irrésolus fascinent l'humanité, du Triangle des Bermudes au monstre du Loch Ness. Même résolus, ils captivent. Prenez Le Guide du voyageur galactique de Douglas Adams (1979, traduit en français), premier tome d'une série culte. L'auteur y révèle que la réponse à la question ultime sur la vie, l'univers et le reste est 42. Un superordinateur, Deep Thought, l'a calculée après 7,5 millions d'années.

Les personnages réalisent que cette réponse est inutile sans la question précise. Pour la trouver, l'ordinateur construit une nouvelle version de lui-même : la Terre. Lisez les livres d'Adams pour la suite.

Le choix de 42 est iconique dans la culture geek, avec blagues et références partout. Tapez « Quelle est la réponse à tout ? » sur Google : 42 s'affiche en premier. Même sur Qwant, Wolfram Alpha ou Cleverbot.

En France, 42 désigne un réseau d'écoles d'informatique gratuites, du 42 Network à Fremont (Silicon Valley). Le film Spider-Man: Into the Spider-Verse regorge d'apparitions de 42. Consultez Wikipédia : pages néerlandaise et anglaise « 42 (nombre) » pour une liste exhaustive.

Quelques exemples marquants :

• Dans la mythologie égyptienne, 42 juges au jugement des morts, et 42 péchés à nier.
• Longueur d'un marathon : 42,195 km, inspirée de la course de Marathon à Athènes en 490 av. J.-C., fixée en 1908.
• 42 empereurs tibétains de la dynastie Yarlung (de Nyatri Tsenpo ~127 av. J.-C. à Langdarma 836-842).
• Bible de Gutenberg : 42 lignes par colonne.

Choisi au hasard ?

Douglas Adams confirma : « J'ai choisi 42 au hasard, un nombre ordinaire et petit. Binaires, base 13, moines tibétains... du pur non-sens. »

42 est-il mathématiquement spécial ?

En binaire, 42 = 101010, simple et élégant. Fête le 10/10/10 ! La référence base 13 : « 6 × 9 = 42 » en base 13 (4×13 + 2 = 54 en décimal).

Propriétés mathématiques uniques

42 possède des traits intéressants :

• Somme des trois premières puissances impaires de 2 : 2¹ + 2³ + 2⁵ = 42 (OEIS A020988). Rares.
• Somme des deux premières puissances de 6 : 6¹ + 6² = 42 (OEIS A105281). Rares.
• Nombre catalan C₅ = 42 (OEIS A000108), comptant triangulations de pentagone ou parenthèses équilibrées : ((())), (())(), ()(()), ()()(), (()()).

Illustrations des parenthèses et chemins en grille .

Nombre pratique : tout entier de 1 à 42 est somme de diviseurs distincts (OEIS A005153).

Pas exceptionnel : 41 et 43 le sont aussi. Étude avec Nicolas Gauvrit et Hector Zenil lie « interestingness » à complexité de Kolmogorov et biais culturels dans OEIS.

42 et la somme de trois cubes

Problème : n = a³ + b³ + c³ ? Pour 42, résolu tardivement malgré apparence facile.

Cubes négatifs autorisés, espace infini. Interdits : n ≡ 4 ou 5 mod 9 (preuves modulaires).

Recherche de solutions

Exemples : 1 = 1³ + 1³ + (-1)³, infinité via Mahler. 2 similaire.

Pour 42, défis : 2009, Elsenhans/Jahnel jusqu'à 10¹⁴, 14 <1000 non résolus dont 42. 2016, Huisman résout 74. 2019, Booker : 33. 2020, Booker/Sutherland (1M heures Charity Engine) : 42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³.

Conjecture : toutes non-interdites possibles, Heath-Brown : infinité.

Problème ouvert, comme l'arrêt de Turing, mais purement mathématique.

42 résiste, mais vaincu !