Le nombre d'Erdős : le réseau fascinant des mathématiciens

À propos du réseautage et de Paul Erdős.

Tout le monde connaît quelqu'un qui a participé à l'Expédition Robinson, à Miss Belgique ou à Pop Idol. Si ce n'est pas vous, c'est sûrement un de vos amis. Les chercheurs en réseaux sociaux estiment que le nombre moyen d'étapes « un ami ou un parent de… » entre deux personnes sur la planète est étonnamment faible. Cela était déjà vrai avant l'avènement des réseaux internet comme LinkedIn, Facebook ou MySpace. Le chiffre six émerge souvent comme le maximum d'étapes nécessaires pour relier deux personnes sur Terre (six degrés de séparation).

Par exemple, pour relier à Madonna : pendant des années, en vacances d'été au camping Cosmos, j'ai formé un duo redoutable de pétanque avec John le tireur, dont le fils avait décroché une bourse et fréquenté un camarade de classe à la New York Academy of Dance. Ce dernier danse aujourd'hui dans le groupe d'accompagnement de Madonna. Un chemin de longueur quatre ! Moins d'efforts encore pour passer de Bush à Ben Laden en deux étapes.

Si les gynécologues comparent souvent leurs handicaps au golf lors de conférences, certains mathématiciens préfèrent évoquer leur nombre d'Erdős.

Paul Erdős (1913-1996) fut l'un des mathématiciens les plus excentriques du XXe siècle. Le folklore du nombre d'Erdős naquit de ses innombrables collaborations :

• Erdős lui-même est le centre du réseau (nombre 0) ;
• les 509 mathématiciens ayant coécrit un article avec lui ont le numéro 1 ;
• ceux qui ont publié avec un numéro 1 obtiennent le numéro 2 ;
• et ainsi de suite.

Quiconque n'est pas connecté (même indirectement) à Erdős a un nombre infini – mais cela suppose un mathématicien antisocial. Mon cousin physicien, auteur d'un seul article, affiche un numéro d'Erdős au plus égal à 9. Les lauréats du Nobel ont souvent un faible numéro. La moyenne des nombres finis est d'environ 5.

Les curieux vaniteux peuvent vérifier leur propre nombre via le projet Erdős.

Quelques anecdotes sur Erdős :

• Plus de 1 500 publications à son actif (dont plus d'une centaine posthumes).
• Ses conjectures surpassent presque sa notoriété, offrant des décennies de défis passionnants.
• Ses citations légendaires incluent : « Un mathématicien est une machine qui transforme le café en théorèmes ».
• Le cinéma a son équivalent avec le nombre de Kevin Bacon. Un nombre Erdős-Bacon fini (somme des deux) est rare et prestigieux. Daniel Kleitman détient le record à 3 (Erdős 1 + Bacon 2 via Good Will Hunting). Stephen Hawking a 7 (Erdős 3 + Bacon 4).

Quel serait mon nombre Evangeline Lilly ?

Génie original en théorie des nombres et combinatoire, Erdős résolut des centaines de problèmes sans jamais obtenir de poste universitaire permanent. Juif hongrois, il fuit les persécutions dans les années 1930 et subit les restrictions américaines des années 1950. Vivant de conférences et prix (comme le Wolf Prize de 50 000 $ en 1983), il aidait étudiants démunis et offrait des primes pour ses problèmes ouverts.

Il squattait chez collègues, sac plastique en main, yeux pétillants d'idées. Travaillant 19 heures par jour, il testait la patience des familles d'accueil. « Un autre toit, une autre preuve », disait-il en repartant.

• En savoir plus : biographie ici ou sur Kennislink.nl.
• Ses problèmes ouverts, dotés de prix, sont gérés par Ron Graham.
• Exemples de preuves élégantes dans Martin Aigner et Günther M. Ziegler, Preuves tirées du livre (Springer, 2e éd., 2001).

Lectures recommandées :

• Paul Hoffman, L'homme qui n'aimait que les chiffres (Hyperion, 1998).
• Bruce Schechter, Mon cerveau est ouvert (Tellect, 2000).
• George Csicsery, N est un nombre (documentaire).
• Ronald Graham et Jaroslav Nešetřil, Les mathématiques de Paul Erdős (Springer, 1997).
• Martin Aigner et Günther M. Ziegler, Preuves tirées du livre (Springer, 5e éd., 2014).
• Deborah Heiligman, Le garçon qui aimait les maths (Roaring Brook Press, 2013).