Le 21 décembre 2018, le projet bénévole GIMPS a annoncé sur mersenne.org la découverte d'un nouveau record : un nombre premier comptant près de 25 millions de chiffres. Vous pouvez l'admirer dans le titre de cet article. Ce nombre premier, de la forme 282589933 - 1, a été identifié le 7 décembre 2018 – une date astucieusement encodée dans ses décimales (voir les chiffres en rouge).
C'est le plus grand nombre premier connu à ce jour. Rappelons que les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …) sont des entiers positifs divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes. Dès le IIIe siècle avant J.-C., le mathématicien grec Euclide a formellement prouvé leur infinité.
Malgré cela, découvrir un nouveau record reste un exploit majeur. Aucune méthode efficace n'existe pour générer un nombre premier de 400 chiffres ou vérifier la primalité d'un nombre donné. Un ordinateur moderne mettrait plus de temps que l'âge de l'Univers pour tester un nombre à 1 000 chiffres.
Ce record revient à GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), qui mobilise plus de 1,8 million de processeurs dans le monde, réalisant jusqu'à 300 × 1012 calculs par seconde aux heures de pointe. Le projet cible les nombres premiers de Mersenne (2p - 1, avec p premier), du nom du mathématicien Marin Mersenne (XVIIe siècle). Des tests efficaces existent pour ces nombres, évitant de vérifier tous les diviseurs potentiels.
Les records récents sont tous des Mersenne primes (voir tableau ci-dessous). Les mathématiciens ignorent cependant s'il en existe une infinité – chaque découverte pourrait être la dernière.
Pourquoi tant d'efforts pour ces géants ? Une lettre au Washington Post (22 juin 1993) critiquait cette quête, en réponse à un problème de théorie de Ramsey. Sans la réfuter entièrement, voici les motivations des "chasseurs de premiers".
Pour les mathématiques. Les premiers, blocs de base de la théorie des nombres, fascinent par leur distribution imprévisible. Leur étude enrichit ce domaine et alimente des énigmes comme la conjecture de Riemann (prix d'un million de dollars).
Pour la sécurité. Les premiers sous-tendent le chiffrement RSA, pilier des transactions bancaires et du web. Bien que les records soient trop vastes pour un usage pratique (RSA utilise 300-600 chiffres), la recherche avance les algorithmes.
Pour le mysticisme. Les Grecs vénéraient les nombres parfaits (somme des diviseurs propres = le nombre, ex. : 6 = 1+2+3). Tous les connus sont pairs et issus de Mersenne primes via la formule d'Euclide : 2p-1 × (2p - 1). Euler a prouvé que tous les pairs parfaits naissent ainsi. Le 51e Mersenne prime en donne un 51e. Aucun impair n'est connu ; leur existence reste un mystère millénaire.
Exemples :
p=2 : 21 × (22-1) = 6
p=3 : 22 × (23-1) = 28
p=5 : 24 × (25-1) = 496
p=7 : 26 × (27-1) = 8128
Pour les tests matériels. GIMPS valide les processeurs (Intel Pentium, Skylake). Il a révélé le bug Pentium en 1994.
Pour l'argent. L'EFF (Electronic Frontier Foundation) offre 3 000 $ par record, 150 000 $ au-delà de 100 millions de chiffres, 250 000 $ au-delà d'un milliard. Un stimulus pour la collaboration mondiale.
La recherche de premiers : pure passion mathématique ?
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