Le théorème de Pythagore est le théorème le plus célèbre. C'est peut-être pour cette raison qu'en septembre 2017, les "fausses nouvelles" mathématiques que les Babyloniens avaient conçues pour elle ont été reprises avec empressement. Pourtant, il y a aussi de vraies nouvelles :un mathématicien amateur japonais a proposé une sublime généralisation, bien que cette vraie nouvelle n'ait pas résonné - jusqu'à présent.
Considérez le triangle rectangle vert au milieu. Pythagore a déclaré que le carré orange est la somme des carrés bleus. Ebisui dit maintenant que la même chose est vraie pour le carré orange clair et le bleu clair - et la somme de 2 jaunes est 5 fois 1 violet, à n'importe quel stade, "jusqu'à l'infini".
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle la somme a² + b² des carrés des longueurs a et b des côtés droits est égale au carré de la longueur c de l'hypoténuse :a² + b² =c². Prenons par exemple le triangle rectangle avec les angles droits 3 et 4 et l'hypoténuse 5 :3² + 4² =5² car 9 + 16 =25. Cet exemple illustre le théorème avec des nombres très simples, 3, 4 et 5, et le triangle devient donc le Triangle de Pythagore, toujours d'après le mathématicien grec Pythagore (vers 570–495 avant JC). D'autres exemples simples sont les triangles de côtés 5, 12 et 13 ou ceux de côtés 7, 24 et 25.
Les grands arbres attrapent beaucoup de vent et c'est pourquoi on lit parfois que Pythagore n'a peut-être jamais vécu, et encore moins que le théorème porte son nom. D'autres soutiennent que ce n'est pas cet habitant de l'île de Samos qui a inventé le théorème, mais quelqu'un au Moyen-Orient, car la tablette d'argile « Plimpton 322 », vieille de 3 700 ans, du sud de l'Irak contient une série de chiffres de qui, après quelques conversions, peut être dérivé dont la somme des carrés donne le carré d'un troisième nombre. C'est vrai, et cela est connu depuis une étude de 1945. Cependant, il n'y a pas de "formule" dans la nature de a²+b²=c², ni de triangle, juste une série de nombres, et parfois les nombres ne s'additionnent même pas vers le haut.
La tablette a déjà été trouvée en 1921, et pourtant en septembre 2017, il semblait que cette tablette d'argile venait d'être découverte, après que les mathématiciens Daniel Mansfield et Norman Wildberger de l'Université australienne de Nouvelle-Galles du Sud aient envoyé un communiqué de presse très alléchant. À cette époque, il semblait que ce n'était qu'à ce moment-là qu'il avait été démontré qu'une version antérieure du théorème de Pythagore existait, alors qu'en plus de cette étude de 1945, des publications avaient également paru en 1957, 1980, 1993, 1995, 1996 et 2002. De plus, la tablette serait la preuve d'une maîtrise supérieure des mathématiques mais il s'agissait, pour reprendre certains termes modernes, d'un « hoax », d'une « fake news ». Non seulement les Babyloniens ne connaissaient pas la 'trigonométrie', parce qu'ils ne connaissaient pas le concept d''angle', et il y a aussi des nombres erronés de sorte qu'ils n'étaient certainement pas le 'travail d'un génie'. Wildberger, un mathématicien très passionné connu pour ses conférences dynamiques, a voulu attirer l'attention sur son point de discorde, à savoir sa lutte contre les nombres irrationnels, qui sont plus larges que le rationnel (c'est-à-dire les fractions avec des entiers). Les Babyloniens ne le savaient pas, encore moins une notation décimale qu'ils arrondiraient "après la décimale". Bien sûr, ils ont travaillé "plus précisément", mais ce n'était pas "de meilleures mathématiques" (voir encadré :"Le canular de Pythagore").
Mansfield et Wildberger en ont apparemment également surpris beaucoup en affirmant que les opérations sur la tablette étaient effectuées dans le système à soixante chiffres, mais cela aussi était une nouvelle très ancienne. Soit dit en passant, ce système avec une base 60 au lieu de 10 peut venir d'Afrique. Mais assaisonné d'un peu de poussière du désert, parce que les nouvelles positives sur la région de l'Irak sont tout simplement les bienvenues en ces temps, tous les médias ont vu Mansfield portant des gants blancs montrant la tablette d'argile qui contenait censément la première version du théorème de Pythagore. Ces maudits Grecs qui avaient mis en péril le budget européen se sont également avérés avoir volé un théorème, alors que nous devons en fait le calcul à une région arabe aussi sous-estimée, a-t-on dit. Pour une fois, un théorème mathématique s'est bien déroulé.
Pourtant, ce n'est pas le cas. Certes, le Moyen-Orient, et d'ailleurs l'Inde et la Chine, s'intéressaient aux nombres dont la somme des carrés de deux d'entre eux donne le carré d'un troisième nombre, mais cela ne concernait pas forcément les côtés d'un triangle rectangle. Certains autres "textes" anciens (ou tablettes ou gravures) contiennent des preuves pour certains cas particuliers du théorème et avec un triangle. Mais c'est bien le grec Pythagore qui a le premier prouvé le théorème, en tant que théorème, et non à travers un certain nombre d'exemples numériques. Et c'est une énorme différence. C'est juste la différence entre jouer un peu avec les chiffres et les maths. Rik Verhulst en a démontré l'importance dans son livre "Les six coups de marteau de la rationalité occidentale" (2006).
Pythagore procéda comme suit. Dans deux carrés, il y a quatre triangles identiques, qui sont cependant disposés différemment. Les espaces restants, dont l'un est un carré d'aire c² et l'autre une somme de deux carrés d'aires a² et b², doivent donc être égaux, et donc c² est égal à a² plus b². Simple, clair, et c'est une ligne de raisonnement, pas une liste d'exemples chiffrés.
Le théorème de Pythagore a reçu sa grande renommée parce qu'il est apparu dans "Les éléments", une série de treize livres écrits par le grec Euclide (environ 300 avant JC), dans lesquels il a logiquement arrangé quelque cinq cents théorèmes et preuves connus à l'époque. Ces mathématiques du cinquième siècle avant JC sont devenues le plus grand stimulant du développement des mathématiques grâce à l'approche systématique d'Euclide. Pendant longtemps, "Les Eléments" ont concurrencé la Bible pour le titre de best-seller de l'année. Euclide a prouvé le théorème de Pythagore d'une manière différente, en déclarant que chacun des plus petits carrés est égal à une partie rectangulaire du plus grand carré et que la somme de ces deux parties rectangulaires est exactement le grand carré. Son raisonnement a été visualisé dans d'innombrables dessins sur 2000 ans.
Notamment à cause de la renommée de "The Elements", beaucoup ont essayé de prouver le théorème de Pythagore par d'autres moyens. E. S. Loomis a en fait recueilli trois cent soixante-dix preuves (370 !) dans son livre 'The Pythagorean Proposition' (numéros de 1928, 1940, 1968 et 1972). Je préfère moi-même une preuve qui, tout comme celle de Pythagore, fonctionne avec quatre triangles verts et a un effet algébrique simple :c² =4.ab/2 + (ab)² =2ab + a² + b² - 2ab =a² + b² (voir figure ). Technopolis et d'autres parcs scientifiques montrent déjà un arrangement dans lequel l'eau peut être coulée des deux petites places dans la grande place pour illustrer leur égalité. c =une + b . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}
Non seulement plus de preuves sont venues, mais il y a aussi eu de nombreuses généralisations. Si d'autres figures similaires que des carrés sont placées sur les côtés du triangle, alors "le théorème réussit également", comme il s'est avéré. Triangles semblables, pentagones réguliers, ou morceaux de cercle semblables, peu importe :la somme des aires des figures sur les côtés rectangulaires est égale à l'aire de la figure sur l'hypoténuse. La raison, bien sûr, est que l'aire d'une telle figure est proportionnelle au carré d'un côté (c'est-à-dire égale au carré d'un côté multiplié par un nombre fixe).
Ici aussi, il est remarquable de voir combien de cultures ont étudié les généralisations possibles à travers les âges. Il y avait aussi des versions pour des triangles arbitraires, avec des parallélogrammes au lieu de carrés, et des versions 3D avec des interprétations spatiales. Et, bien sûr, à l'époque des mathématiques modernes, il y avait aussi des versions très abstraites dans lesquelles toute référence à un triangle et à des carrés ou des carrés semble avoir disparu. Mais au final, après 2000 ans de recherches et d'études à travers le monde, tout s'est avéré être dit, calculé et raisonné.
En effet, aujourd'hui les questions géométriques euclidiennes sont dépassées. Finis les points, les lignes, les plans, les cercles et les sphères avec leurs relations mutuelles dans le plan et dans l'espace en éducation ou en "mathématiques dures", à quelques exceptions près. Le terme «géométrie élémentaire» pour ce domaine d'étude faisait à l'origine référence au titre de l'œuvre d'Euclide, mais aujourd'hui l'adjectif «élémentaire» prend parfois la connotation de «simple». Tout ce qui reste est le théorème de Pythagore (et peut-être celui de Thales) bien qu'aucun manuel contemporain ne contienne une preuve avec des triangles qui s'inscrivent dans un carré comme Pythagore ou Euclide - sauf en tant que "remplissage de belles feuilles".
Cependant, tous les mathématiciens ne croient pas que cela doit être le cas et que le théorème de Pythagore pourrait bien être dû à un renouveau. L'un d'eux est l'Autrichien Gunter Weiss (°1946), professeur à l'Université de Vienne qui a travaillé à la TU allemande de Dresde à partir de 1995 et qui a été pendant de nombreuses années la force motrice de la Société internationale de géométrie et de graphisme (ISGG). Dans certaines de ses publications et conférences, il présente des questions de nature euclidienne, qui excitent le lecteur et l'auditeur contemporain curieux. Il pense que même aujourd'hui, les sujets d'Euclide peuvent fournir des exemples stimulants pour que les élèves et les étudiants puissent acquérir des compétences en raisonnement logique. De plus, il existe maintenant des logiciels tels que Geogebra qui permettent d'attribuer un mouvement aux figures d'Euclide en faisant varier les points, les lignes et les cercles, de sorte que ces mathématiques « prennent vie ».2 ‖ v ‖ 2 + 2 ‖ w ‖ 2 =‖ v + w ‖ 2 + ‖ v - w ‖ 2 , {\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\ mathbf { v+w} \|^{2}+\|\mathbf {vw} \|^{2}\ ,} ds 2 =dr 2 + r 2 ré θ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}
En ce qui concerne le théorème de Pythagore en particulier, Weiss l'illustre avec un résultat d'un mathématicien amateur japonais, Hirotaka Ebisui (voir encadré). Ebisui a reconnecté les sommets des carrés qui sont sur les côtés d'un triangle rectangle selon le théorème classique de Pythagore avec des carrés. Il a maintenant déterminé que la somme de l'aire de deux d'entre eux est égale à cinq fois l'aire du troisième carré. Il a ensuite relié à nouveau les sommets de ces nouveaux carrés avec des carrés. Maintenant, il a déterminé que, comme avec le théorème de Pythagore initial, la somme de l'aire de deux carrés est égale à l'aire du troisième carré. Et ce processus peut être poursuivi:dans une phase suivante, la somme de l'aire de deux d'entre eux est à nouveau égale à cinq fois l'aire du troisième carré, et après cela la somme de l'aire de deux carrés est égal à l'aire du troisième carré, et ainsi de suite.
La construction du théorème de Pythagore-Ebisui, dont l'illustration d'ouverture est la quatrième phase :orange =bleu + bleu ; violet multiplié par cinq =jaune + jaune.
C'est une merveilleuse généralisation, dit Weiss. D'où vient le "cinq" ? Et pourquoi la position elle-même revient-elle après chaque deuxième « couche » ? Weiss est tombé dessus par hasard après une rencontre fortuite avec le mathématicien amateur japonais, mais il les a prouvées mathématiquement "comme il se doit", essayant également de les faire connaître autant que possible. Et il a raison :2000 ans après Pythagore, les merveilles ne sont toujours pas terminées. Pas même le miracle de Pythagore.
