Aussi en mathématiques, la science la plus logiquement connectée, on ne réussit pas toujours à prouver ce qu'on veut prouver, sans parler des cas comme l'hypothèse de Riemann où les mathématiciens ne trouvent pas la preuve, mais ils le font. ) pour lequel il n'y a aucune preuve.
Récemment, nous avons été invités à donner une conférence pour l'Université de Flandre. Le titre de notre conférence était Pourquoi n'obtenez-vous pas toujours ce que vous voulez ? et nous avons parlé de situations de la vie quotidienne où vous n'obtenez pas toujours ce que vous voulez et comment les mathématiques peuvent parfois aider à expliquer cela. Mais même en mathématiques elles-mêmes, vous n'obtenez pas toujours ce que vous voulez. L'image que nous avons en mathématiques d'une science parfaitement logique et où l'une découle de l'autre de manière transparente s'est effondrée il y a plus de 100 ans. Au début du XXe siècle, les philosophes et mathématiciens Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont eu l'idée de construire les mathématiques à partir de zéro. Ils l'ont fait dans le magnum opus Principia Mathematica. Mais les choses ont mal tourné, en partie à cause de ce que l'on appelle aujourd'hui le paradoxe de classe de Russell. Nous pouvons expliquer exactement quel est le problème en utilisant l'analogie suivante.
Le bibliothécaire de la bibliothèque de Babel pense que vous ne pouvez pas classer assez. Au fil des ans, il a créé toutes sortes d'index sous forme de livres dans le but de faciliter la recherche d'un livre dans l'immense bibliothèque. Par exemple, il a un livre dans lequel tous les livres (et leur place dans la bibliothèque) sont inclus et qui ont une couverture rouge. Ce n'est pas un hasard si cet index lui-même a également une couverture rouge.
Par exemple, il a également réalisé un livre qui répertorie tous les livres de plus de 3000 pages. Ce livre n'est pas trop épais.
Maintenant, le bibliothécaire pense qu'il devrait également faire un index contenant tous les livres qui se répertorient comme le livre rouge sur les livres rouges. Appelez cet index Z.
Et puis aussi un index avec des livres qui ne se répertorient pas (comme le livre>3000 p.). Appelez cela NZ.
Ces deux livres réunis contiennent tous les livres de la bibliothèque de Babel.
Ce paradoxe a envoyé une onde de choc en mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, une partie des mathématiques qui appartient vraiment aux bases. En fait, ce paradoxe équivaut au paradoxe de la coiffure plus connu :
(ce qui, soit dit en passant, peut facilement être résolu en supposant que le coiffeur en question est une femme). Toutes sortes de tentatives ont été faites pour résoudre ce problème et d'autres, mais les choses ont été bien pires par Kurt Gödel, qui a prouvé son théorème d'incomplétude en 1931. Lisez ceci en premier. En effet, ce théorème de Gödel dit que tout système mathématique est soit incomplet (c'est-à-dire qu'il existe des énoncés vrais existent - des théorèmes en fait - qui ne peuvent pas être prouvés ), ou incohérentes (c'est-à-dire qu'il y a de fausses déclarations sont qui peuvent être prouvées † Alors que les mathématiciens avant Gödel pouvaient supposer que les choses n'étaient vraies que s'il avait été prouvé qu'elles étaient efficaces, cela s'est considérablement amélioré depuis lors.
La bonne chose à propos de la preuve de Gödel de son théorème d'incomplétude est qu'elle se résume en fait aux déclarations ci-dessus. Gödel a réussi à formaliser ces phrases en une ou plusieurs formules mathématiques. Remplacez "faux" dans ce qui précède par indémontrable, alors il y a deux possibilités.
Soit la phrase est vraie, mais alors vous avez une phrase qui est vraie et dit d'elle-même qu'elle est indémontrable. Alors votre système est incomplet.
Soit la phrase est fausse, et alors elle est prouvable, et alors vous pouvez prouver quelque chose qui est faux. Alors le système est incohérent.
Il n'y a pas d'autres options.
Si vous trouvez cela intriguant, assurez-vous de lire le livre (culte) Gödel, Escher, Bach :une tresse d'or éternelle par Douglas Hofstadter. Il a été publié en 1979, prend un certain effort à lire, mais ça vaut le coup. Il existe également une version néerlandaise, déjà la 15e édition.
Le bâtiment des mathématiques a tremblé sur ses fondations (problèmes avec les fondations) pendant un moment, mais heureusement, il a survécu.
Mais les conséquences sont là. Pendant des années, les mathématiciens ont essayé la conjecture de Goldbach prouver :
Goldbach : tout nombre pair supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de 2 nombres premiers.
Jusqu'à présent, il n'y a pas de nombres pairs connus (> 2) qui ne soient pas la somme de 2 nombres premiers. Nous cherchons donc des preuves. Mais peut-être n'y a-t-il aucune preuve du tout, et est-ce l'une des affirmations dont Gödel a prouvé l'existence dans son théorème d'incomplétude ?
Pendant que nous y sommes, il y a aussi des théorèmes en mathématiques qui sont plutôt contre-intuitifs. Un exemple typique de ceci est le soi-disant paradoxe de Banach-Tarski de 1924. C'est un théorème qui semble paradoxal, mais qui a néanmoins été prouvé (bien qu'en utilisant un axiome, mais cela arrive souvent en mathématiques). Le théorème dit (par exemple) que vous pouvez diviser une sphère solide en 5 morceaux et les assembler de sorte que vous ayez deux sphères de la même taille et aussi massives que la sphère d'origine.
Et que doit-on penser de cela ? Jetez un oeil à la figure suivante :
Sur la figure, on suppose que les lignes discontinues colorées sont décalées d'un sommet à l'autre. Supposons en outre que le carré circonscrit ait un côté 1. Il est alors facile de voir que la longueur totale d'une telle ligne colorée est égale à la somme des deux côtés du carré, donc égale à 2. Ceci s'applique à la ligne verte, jaune et bleue. Donc la ligne bleue a aussi une longueur totale de 2. Si on travaille ainsi de plus en plus finement, le résultat ressemblera de plus en plus à la diagonale du carré. Peu importe la qualité de notre travail, la longueur d'une telle "ligne d'escalier" sera toujours de 2. Mais... la longueur de la diagonale du carré est égale à √2 . Que diriez-vous de cela ?
Il s'agit du paradoxe diagonal bien connu (à ne pas confondre avec le paradoxe diagonal de Cantor).
Il ressort de la figure ci-dessous que la demi-circonférence du grand cercle est égal à son diamètre...
A faire ou à ne pas faire :
