Bonne journée Palindrôme ! La date d'aujourd'hui (02/12/2021) est un nombre palindromique, également appelé nombre Sheherazade nommé d'après le narrateur persan des histoires de 1001 Nachten. En ce "jour du palindrome", les blogueurs mathématiques Rudi Penne et Paul Levrie vous informeront de ces chiffres spéciaux.
Quelqu'un avec un visage parfaitement symétrique et avec un coiffeur perfectionniste est indiscernable de son reflet. Vous pourriez l'appeler une personne palindrome. Les palindromes sont donc identiques à leur image miroir. Ils nous procurent également du plaisir linguistique, comme avec
Boss, prends une voiture de course, prends une Saab
ou, en anglais :
Un homme, un plan, un canal :Panama
reflétant l'ordre des lettres, mais pas les lettres elles-mêmes, ignorant les signes de ponctuation et les espaces.
Vous pourriez appeler le 12/02/2021 un jour de palindrome, car nous acceptons toutes les excuses pour une fête, plus que jamais. Cette date est un exemple de nombre palindromique, également appelé nombre de Shéhérazade d'après le narrateur persan des histoires de 1001 Nachten. Le jour du palindrome précédent (02/02/2020) était certes plus universel, car il était célébré dans les formats de date européens et américains. Nous attendons également avec impatience le 15 mai de cette année, une journée palindrome numérique parfaite, même s'il ne s'agit pas d'un numéro de Shéhérazade.
À première vue, les nombres palindromiques semblent être un sujet ennuyeux, facile à inventer (par exemple 123454321), donc pas vraiment intéressant à étudier. Ils appartiennent à ce qu'on appelle les mathématiques récréatives, plutôt qu'à la théorie des nombres. Après tout, la propriété miroir ne fournit pas d'informations intrinsèques sur le nombre, car elle dépend de la représentation de ce nombre. Par exemple, mille et un est 1001011111 en notation binaire. Pourtant, de temps en temps, quelqu'un fait une merveilleuse découverte dans le conte de fées des nombres de Shéhérazade.
En 2016, il a été prouvé que chaque nombre peut être écrit comme la somme d'au plus 3 palindromes. Par exemple :
2021 =202 + 1001 + 818.
Cela a corrigé un résultat précédent de 2015 qui indiquait que chaque nombre est la somme d'au plus 49 palindromes.
Certaines propriétés de miroir semblent recherchées dans une autre galaxie, mais n'en sont pas moins agréables (selon votre coefficient de nerd). Par exemple, nous pouvons être surpris (surtout cette année) par les carrés miroirs 2021 et 1202. Ces nombres sont l'image miroir l'un de l'autre, mais cela s'applique également à leurs carrés :$2021^2 =4084441$ et $1202^2 =1444804$.
Ou qui peut réprimer un clin d'œil lorsque le personnage Sheldon de la série The Big Bang Theory avoue dans le 73e épisode que 73 est son numéro préféré. Maintenant, 73 n'est pas un palindrome, mais c'est le 21e nombre premier, tandis que son image miroir 37 est le 12e nombre premier et 12 est l'image miroir de 21. Un nombre avec cette propriété hallucinatoire a depuis été appelé un nombre de Sheldon. En 2018, il a été formellement prouvé que 73 est le seul nombre de Sheldon.
Ça ne devient pas beaucoup plus fou que ça, je vous entends penser. Mais lisez quand même. En 1938, le célèbre mathématicien américain D.H. Lehmer dans le magazine belge Sphinx, Revue Mensuelle des Questions Récréatives , la procédure suivante pour palindromique. Ajoutez son image miroir à un nombre, et faites de même avec le résultat, jusqu'à ce que vous obteniez un palindrome. Par exemple :63 + 36 =99. Parfois, cela prend un peu plus de temps. Par exemple, prenez 78 :
78 + 87 =165 → +561 =726 → +627 =1353 → +3531 =4884.
C'est une bonne nouvelle pour de nombreux non-palindromes, car ils s'avèrent avoir un palindrome en eux après tout. Cette émergence ne dure généralement pas longtemps, et est un moyen idéal pour marquer les esprits au bar – quand c'était encore possible :
Dans notre système à 10 chiffres, environ 80 % de tous les nombres se retrouvent dans un palindrome après au plus quatre itérations, environ 90 % après au plus sept itérations.
Mais pour une raison quelconque (nous ne savons pas pourquoi), certains chiffres montrent un comportement de "procrastination". Par exemple, regardez 89 :
89 → 187 → 968 → 1837 → 9218 → 17347 → 91718 → 173437 → 907808 → 1.716.517 → 8.872.688 → 17.735.476 → 85.189.247 → 159487405 → 664272356 → 1317544822 → 3602001953 → 7193004016 → 13297007933 → 4726708750178 → 93455516340218 → 18048 → 7193004016 → 13297007933 → 4726708701164 → 93455516340218 → palindrome !
Le détenteur actuel du record de procrastination est composé de 23 chiffres :12000700000025339936491,
et nécessite 288 itérations (découvert le 26 avril 2019).
Nous n'avons plus d'autre choix que de mentionner le nombre 196. Lehmer avait déjà calculé 73 itérations à la main pour 196 et commençait à douter qu'un palindrome soit jamais atteint. Maintenant, en regardant le record précédent, nous savons que Lehmer a tiré ses conclusions un peu trop rapidement. Mais d'un autre côté, nous parlons facilement avec nos ordinateurs. Pourtant, notre puissance de calcul actuelle n'est pas non plus concluante. En 2006, Wade VanLandingham s'est retiré de son projet 196 après 750 millions d'itérations. Toujours pas de palindrome. Peut-être que 196 résistera éternellement, mais nous ne l'avons pas (encore) prouvé.
VanLandingham a introduit un nom pour les nombres avec une procrastination infinie, à savoir les nombres de Lychrel, un anagramme de sa petite amie Cheryll (entre-temps sa femme :elle était si heureuse qu'il ait donné son nom à ces nombres, qu'elle a dit « oui »). Lui et nous pensons que 196 est le plus petit nombre de Lychrel, mais pour le moment il n'y a aucune garantie mathématique que les nombres de Lychrel existent de toute façon.
