Calcul de l'écart-type de la population : guide étape par étape avec exemple

L'écart-type mesure la dispersion ou la variation d'un ensemble de données. Un écart-type faible indique que les valeurs sont proches de la moyenne ; un écart-type élevé signale une plus grande dispersion autour de la moyenne.

Il existe deux types principaux d'écart-type : celui de la population, qui utilise la racine carrée de la variance totale, et celui de l'échantillon, plus complexe. Ce guide explique le calcul de l'écart-type de la population, utilisé pour définir des intervalles de confiance ou tester des hypothèses.

1. Calculez la moyenne arithmétique (somme des valeurs divisée par leur nombre).
2. Pour chaque valeur, soustrayez la moyenne et élevez la différence au carré.
3. Calculez la moyenne de ces carrés : c'est la variance.
4. Prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type de la population.

Formule de l'écart-type de la population

La formule standard est :

σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]

Où :

• σ : écart-type de la population
• Σ : somme sur toutes les valeurs
• x : valeur individuelle
• μ : moyenne de la population
• N : taille totale de la population

Exemple concret

Vous cultivez 20 cristaux et mesurez leurs longueurs en mm : 9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4.

Calculez l'écart-type de la population.

1. Moyenne : (9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4) / 20 = 140 / 20 = 7.
2. Différences au carré :
   (9-7)²=4, (2-7)²=25, (5-7)²=4, (4-7)²=9, (12-7)²=25,
   (7-7)²=0, (8-7)²=1, (11-7)²=16, (9-7)²=4, (3-7)²=16,
   (7-7)²=0, (4-7)²=9, (12-7)²=25, (5-7)²=4, (4-7)²=9,
   (10-7)²=9, (9-7)²=4, (6-7)²=1, (9-7)²=4, (4-7)²=9.
3. Variance : (4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9) / 20 = 178 / 20 = 8,9.
4. Écart-type : √8,9 ≈ 2,983.

Pour aller plus loin

Approfondissez les formules d'écart-type et leurs calculs manuels pour maîtriser les statistiques descriptives.

Sources

• Bland, J. M. ; Altman, D. G. (1996). "Notes statistiques : erreur de mesure." BMJ. 312(7047):1654. doi:10.1136/bmj.312.7047.1654
• Ghahramani, Saïd (2000). Principes de base des probabilités (2e éd.). New Jersey : Prentice Hall.