Je me souviens encore du moment où j'ai été fasciné par les mathématiques. C'était en mai de l'année dernière, lors d'un cours de géométrie projective. J'ai été émerveillé par la beauté des sections coniques, étudiées avec une approche presque sacrée dans l'Antiquité par des géants comme Euclide, Archimède, Pappus et surtout Apollonius.
Les sections coniques regroupent trois types de courbes : les ellipses, définies par deux foyers où la somme des distances à tout point de la courbe est constante et égale au grand axe (distance entre les sommets principaux) ; les hyperboles, où la différence des distances aux deux foyers est constante (égale à la distance entre les sommets) ; et les paraboles, qui excellent dans d'autres domaines comme les trajectoires de projectiles ou les antennes paraboliques.
Les noms ellipse, hyperbole et parabole viennent d'Apollonius, qui acheva vers 225 av. J.-C. son œuvre magistrale Coniques en huit livres (le dernier est perdu). Il les unifia en les considérant comme des sections planes d'un cône circulaire. De l'apex du cône, chaque section apparaît comme un cercle. Un menuisier inspiré en a réalisé un modèle somptueux.
À propos, le film Agora montre Hypatie d'Alexandrie, première mathématicienne documentée, étudiant un tel modèle. En 415, elle fut assassinée par des fanatiques chrétiens lors de la destruction de la bibliothèque d'Alexandrie.
Les sections coniques regorgent de trésors. Chaque ellipse est liée à une hyperbole spécifique : vues l'une de l'autre, elles apparaissent comme des cercles parfaits, formant un "couple idéal". Exemple :
L'hyperbole gît dans le plan perpendiculaire au plan de l'ellipse, passant par son grand axe. Ses sommets coïncident avec les foyers de l'ellipse, et vice versa. Si l'excentricité de l'ellipse est e, celle de son partenaire est 1/e. Une lampe sur l'hyperbole "partenaire" voit la lumière à travers un abat-jour circulaire.
Pourquoi ce cercle ? Grâce aux sphères de Dandelin, un résultat élégant (connu comme la "théorème belge"). Germinal Pierre Dandelin (1794-1847), mathématicien belgo-français, prouva que des sphères tangent au cône et au plan de section touchent ce plan aux foyers de la conique.
Pour une parabole (e=1), une seule sphère ; son partenaire est aussi une parabole. L'ombre d'une sphère illuminée forme une parabole vue comme un cercle depuis certains points.
Ces sphères expliquent les propriétés focales d'Apollonius. Pour voir une ellipse comme un cercle, placez-vous à l'apex d'un cône la contenant. Le plan perpendiculaire au grand axe intersecte le cône en l'hyperbole partenaire.
Dans ce plan : $\sf T$ est l'apex ; les tangentes de $\sf T$ au cercle tangent (sphère de Dandelin) coupent l'ellipse (vue de côté comme un segment) aux sommets $\sf H_1$, $\sf H_2$. $\sf F_1$, $\sf F_2$ sont les foyers. La différence de distances $\sf T H_1 - \sf T H_2$ égale $|\sf F_1 \sf F_2|$.
En variant le cercle (gardant le contact à $\sf F_2$), les nouveaux apex $\sf T'$ tracent une hyperbole de foyers $\sf H_1$, $\sf H_2$, avec sommets aux foyers de l'ellipse.
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