Même en mathématiques, la science la plus rigoureusement logique, on ne parvient pas toujours à prouver ce que l'on souhaite. Prenons l'exemple de l'hypothèse de Riemann, un problème ouvert depuis plus d'un siècle sans preuve formelle.
Récemment, nous avons été invités à donner une conférence à l'Université de Flandre intitulée Pourquoi n'obtenez-vous pas toujours ce que vous voulez ?. Nous y avons exploré des situations quotidiennes où les désirs ne se réalisent pas toujours, et comment les mathématiques peuvent éclairer ces phénomènes. Pourtant, les mathématiques elles-mêmes ne sont pas infaillibles. L'image d'une discipline parfaitement logique, où tout découle transparentement, s'est effondrée il y a plus de 100 ans. Au début du XXe siècle, Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont tenté de reconstruire les mathématiques de zéro dans leur œuvre majeure, Principia Mathematica. Mais ils ont buté sur le paradoxe de Russell, que nous pouvons illustrer par cette analogie.
Le bibliothécaire de la Bibliothèque de Babel crée des index pour naviguer dans cet immense labyrinthe de livres. Il rédige un volume listant tous les ouvrages à couverture rouge (le sien inclus). Un autre recense ceux dépassant 3 000 pages (sans être trop épais lui-même). Puis, il conçoit Z, l'index des livres qui listent les livres rouges, et NZ, celui des livres qui ne les listent pas. Ensemble, Z et NZ couvrent toute la bibliothèque.
Ce paradoxe a ébranlé les fondements des mathématiques, notamment la théorie des ensembles. Il est équivalent au célèbre paradoxe du coiffeur :
(Résolu trivialement si le coiffeur est une femme !) Diverses solutions ont été proposées, mais Kurt Gödel a porté un coup décisif en 1931 avec son théorème d'incomplétude. Celui-ci stipule que tout système mathématique cohérent est incomplet : il existe des énoncés vrais (théorèmes) qui ne peuvent être prouvés. Ou bien, s'il est complet, il est incohérent, permettant de prouver des faussetés.
La preuve de Gödel formalise ces idées en formules mathématiques. Considérez une phrase affirmant sa propre indémontrabilité : si vraie, le système est incomplet ; si fausse, elle est prouvable et le système incohérent. Pas de troisième voie.
Pour approfondir, lisez le livre culte Gödel, Escher, Bach : Une tresse d'or éternelle de Douglas Hofstadter (1979). Exigeant mais passionnant, il existe en édition néerlandaise (15e édition).
Les mathématiques ont vacillé mais survécu. Conséquence : des conjectures comme celle de Goldbach demeurent non prouvées.
Conjecture de Goldbach : Tout nombre pair supérieur à 2 s'écrit comme somme de deux nombres premiers.
Aucun contre-exemple n'est connu, mais une preuve existe-t-elle ? Gödel garantit l'existence de tels mystères.
Certains théorèmes sont contre-intuitifs, comme le paradoxe de Banach-Tarski (1924) : une sphère solide divisée en 5 morceaux peut être recombinée en deux sphères identiques à l'originale (via l'axiome du choix).
Et ceci ?
Les lignes en escalier (verte, jaune, bleue) ont une longueur totale de 2 (deux côtés du carré unité), même en raffinant. Pourtant, la limite est la diagonale de longueur √2. Voici le paradoxe de la diagonale (distinct de celui de Cantor).
Autre curiosité : la demi-circonférence semble égaler le diamètre...
À lire absolument : Oncle Petros et la conjecture de Goldbach (2000) et Logicomix : Une épopée à la recherche de la vérité (2009, roman graphique) d'Apostolos Doxiadis. Parfait pour clarifier ces concepts.
