Un regard mathématique sur 2019.
Cette année, le pi day tombait le 14 mars, soit le 3/14 comme disent les américains. "N'est-ce pas chaque année ce jour-là?", nous vous entendons penser à haute voix. En effet, mais les mathématiciens poussent toujours un soupir de soulagement, car il n'est pas inconcevable que cet arrondi bien connu de π 3,14 soit un jour qualifié de fake news, ne serait-ce que pour relativiser les mesures sur le réchauffement climatique à l'aide de . une valeur plus petite pour π. En novembre 2019, l'UNESCO a officiellement déclaré le 14 mars Journée internationale des mathématiques. Soit dit en passant, la plate-forme Wiskunde Vlaanderen a été fondée le 14/03/2019, qui s'est jusqu'à présent préparée sous terre et se montrera pleinement en 2020.
En juillet 2019, Andrew Booker a publié un article annonçant la trouvaille suivante :
33 =8866128975287528 + (−8778405442862239) + (−2736111468807040)
Qu'y a-t-il de si spécial à ce sujet ? Rien, pour être honnête, du moins en ce qui concerne presque tout le monde. Mais supposons que vous soyez un mathématicien et que vous ayez tendance à écrire un nombre naturel comme la somme de trois cubes. Par exemple, 36 s'écrirait 36 =1 + 2 + 3. Vous pouvez également utiliser le cube de 0 :8 =2 + 0 + 0, ainsi que des cubes de nombres négatifs. Un exemple plus difficile est :
16 =1626 + (−1609) + (−511).
Cette question s'est posée en 1954, et il a été rapidement prouvé qu'un nonuple plus 4 ou un nonuple plus 5 n'est jamais égal à la somme de trois cubes. Est-ce que tous les autres numéros sont bons ? On ne sait pas encore. Mais ce n'est pas une mauvaise idée de vérifier les nombres jusqu'à 100.
Quiconque pense que cela peut arriver aussi rapidement avec un ordinateur sous-estime le problème. Surtout les numéros 33 et 42 se sont avérés difficiles à déchiffrer. Pour écrire 33 comme la somme de trois cubes, Booker avait besoin à la fois de techniques mathématiques et d'un réseau informatique (un seul ordinateur aurait compté pendant près de 8 ans).
Il ne restait alors que le mystère du 42 (comment pourrait-il en être autrement, le nombre culte de tous les nerds du monde). Avec Sutherland, Booker a finalement pu publier le résultat suivant en septembre 2019 :
42 =(−80538738812075974) + 80435758145817515 + 12602123297335631.
On sait depuis longtemps que les nombres premiers sont infinis, mais ils deviennent de plus en plus minces à mesure que le nombre de chiffres augmente. Avec chaque plus grand nombre premier nouvellement trouvé, on peut s'attendre à ce que le prochain premier soit encore plus loin que la distance au précédent. Pourtant, de temps en temps, une paire de nombres premiers proches l'un de l'autre apparaît de manière inattendue. Un nombre premier jumeau est une paire de nombres premiers avec une différence de 2 (comme 17 et 19). On soupçonne qu'il y a tant de couples. On pense même que pour tout nombre pair k il existe une infinité de couples premiers avec leur différence égale à k † Mais cela ne peut pas (encore) être prouvé. L'enfant prodige Terence Tao a fait le plus grand progrès à cet égard en montrant qu'il existe une infinité de couples premiers avec une différence ne dépassant pas 246.
Le 7 septembre, Will Sawin et Mark Shusterman ont rendu publique leur solution à la conjecture des nombres premiers jumeaux, bien que dans le contexte de « polynômes à coefficients dans des structures de nombres finis ». Bien que nous ayons simplifié la terminologie mathématique à la limite de l'exactitude dans la phrase précédente, nous comprenons qu'une petite clarification n'est pas superflue. Tout d'abord, nous notons que la théorie des nombres est l'une des formes les plus anciennes mais aussi les plus pures des mathématiques. En premier lieu, nous étudions ici les entiers, par exemple leurs propriétés de divisibilité. Les nombres premiers jouent un rôle fondamental à cet égard, car ils ne peuvent pas être factorisés comme un produit réel de deux autres nombres. Un autre concept mathématique, les polynômes, sont étonnamment similaires aux nombres entiers. Par exemple, vous pouvez effectuer une division euclidienne (ou "division longue") dans les deux contextes. Comme coefficients de ces polynômes, vous pouvez prendre des nombres rationnels, mais aussi une structure de nombres finis tels que des nombres binaires. Et c'est dans ce dernier domaine que Sawin et Shusterman ont prouvé leur résultat, un théorème qui est analogue à la conjecture des nombres premiers jumeaux (en "nombres ordinaires").
Le 10 août (avec une mise à jour le 2 décembre), ArXiv.org a effectivement publié un nouveau résultat sur un sujet écrit en gris dans chaque cours d'algèbre linéaire, à savoir sur les vecteurs propres et les valeurs propres. De plus, il s'est avéré être une propriété de base que les mathématiciens avaient jusqu'ici incroyablement négligée, aussi fondamentale que le titre de l'article lui-même :Des vecteurs propres à partir de valeurs propres † Cette histoire commence lorsque Terence Tao (ci-dessus) reçoit un e-mail début août de trois physiciens dont il n'avait jamais entendu parler :Xining Zhang, Peter Denton et Stephen Parke. Ils étudient la propagation des neutrinos à travers la matière et pour cela ils ont besoin de vecteurs propres de certaines matrices. Dans ce cas, ces vecteurs propres sont beaucoup plus difficiles à calculer que les valeurs propres. Mais cet été, ils ont découvert une formule qui donne les coordonnées des vecteurs propres basés sur valeurs propres (voir plus bas; en fait la formule calcule les modules de ces coordonnées, mais cela leur suffisait car avec les matrices hermitiennes travailler). Parce que le trait est si basique, ils ne croyaient pas que c'était nouveau, et pour la même raison, Tao ne croyait pas que c'était vrai. Mais moins d'un jour plus tard, Tao avait fabriqué deux preuves différentes, et deux jours plus tard, l'article était un fait et trois physiciens relativement inconnus ont co-écrit l'un des plus grands mathématiciens de notre temps.
Le 19 mars, le prix Abel annuel, disons le prix Nobel de mathématiques, a été décerné dans la capitale norvégienne Oslo. Pour la première fois dans l'histoire (encore relativement courte) du prix, une femme a été nommée lauréate :Karen Uhlenbeck. Elle a reçu le prix pour "ses réalisations pionnières dans les équations aux dérivées partielles géométriques, la théorie de jauge et les systèmes intégrables, l'impact fondamental de son travail sur l'analyse, la géométrie et la physique mathématique".
En 1941 R. J. Duffin et A.C. Schaeffer font une conjecture importante en théorie des nombres sur l'approximation des nombres irrationnels, qui sont des nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Cependant, ils n'ont pas été en mesure de prouver leur conjecture, et celle-ci est restée un célèbre problème ouvert en mathématiques. Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont mis fin aux souffrances de nombreux théoriciens des nombres le 10 juillet et ont pu prouver la conjecture. La preuve, qui fait environ 45 pages, est actuellement à l'étude pour des erreurs (ce qui n'est pas facile, car elle contient de nombreux détails difficiles et techniques), mais la première impression générale dans la communauté mathématique est qu'elle a l'air bien.
Il est devenu clair le 6 mai que toutes les anciennes conjectures mathématiques ne peuvent pas être prouvées et peuvent donc être transformées en théorème. Depuis plus de 50 ans, les mathématiciens recherchent la preuve de la conjecture de Hedetniemi de 1966 (sur le nombre de couleurs nécessaires pour colorer des réseaux complexes), car ils étaient convaincus que la conjecture était vraie. Le mathématicien russe Yaroslav Shitov a montré que cette recherche était vaine en construisant un contre-exemple relativement simple de la conjecture.
