Certains problèmes mathématiques paraissent simples au premier abord, mais se révèlent bien plus complexes.
Au fil de mes années de chroniqueur, un lecteur m'a soumis un casse-tête qui le tourmentait depuis longtemps. Difficile de prédire si un problème sera résoluble facilement : certains semblent évidents et pourtant résistent, tandis que d'autres, complexes en apparence, se plient à une solution élégante.
Imaginez une chèvre vorace attachée à une corde fixée à un poteau au bord d'une pelouse circulaire. Si la corde est courte, elle broute peu ; si elle égale le diamètre de la pelouse, elle rase tout. Quelle longueur doit avoir la corde pour qu'elle mange exactement la moitié de l'herbe ?
Intuitivement, on pense à l'aire d'un cercle (πr²) et à des secteurs circulaires (lignes pointillées sur l'image). Pourtant, sans ordinateur ou calculs numériques fastidieux, impossible de résoudre analytiquement. J'ai ainsi piégé plus d'un mathématicien présomptueux ! La solution : r ≈ 1,15872847 (pour un rayon de pelouse unitaire).
D'autres énigmes semblent ardues mais cachent une résolution ingénieuse. Prenons un carré ABCD de côté 1, avec un demi-cercle de diamètre 1 centré en M (milieu de AD). La tangente depuis B au demi-cercle intersecte CD en E. Quelle est la longueur BE ?
Aucune équation avancée ni théorème de Pythagore requis ! Résolvez-le sur un coin de table. Tracez un arc de cercle centré en B de rayon 1 (pointillés) : il coupe le demi-cercle en F, formant le quadrilatère rouge BFMA. BA = BF = 1.
Le quadrilatère bleu MFED est similaire à BFMA, mais homothétique de rapport 1/2 : AM = 1/2, donc FE = 1/4. Ainsi, BE = 1 + 1/4 = 5/4 = 1,25. Preuve que le bon sens l'emporte souvent !
