Harvey Friedman s'attache à rendre concrètes les mathématiques inaccessibles. D'ici la fin de l'année, ce scientifique renommé rejoindra l'Université de Gand en tant que professeur invité. Une conversation captivante avec un esprit aussi brillant que chaleureux.
Harvey Friedman est un génie : à 18 ans, il obtient son doctorat en mathématiques au prestigieux Massachusetts Institute of Technology (MIT). Immédiatement après, il est nommé à l'Université de Stanford, tout aussi renommée. Depuis, il figure dans le Guinness des records comme le plus jeune professeur de l'histoire.
De professeur adjoint de philosophie, il est devenu professeur de mathématiques et de musique, jusqu'à sa retraite en 2012. Un an plus tard, il reçoit un doctorat honorifique de l'Université de Gand. Cette année, il renforce ses liens avec Gand : il intègrera le groupe de recherche en logique mathématique d'Andreas Weiermann et créera une archive permanente de ses travaux.
Entretien. Comment rivaliser avec un mathématicien ayant écrit Une preuve divine de la cohérence des mathématiques, démontrant que les mathématiques classiques sont cohérentes en acceptant l'existence de Dieu ? Friedman réfléchit à la vitesse de l'éclair et pose des questions précises. Soutenu par Weiermann, qui a fourni des questions supplémentaires, voici ses réponses informelles.
Pouvez-vous résumer votre recherche en quelques phrases ?
« En mathématiques, on pose des questions exigeant des réponses sans ambiguïté : vrai ou faux. Mais dans les années 1930, Kurt Gödel (1906-1978) démontre l'existence d'affirmations ni prouvables ni réfutables, totalement inaccessibles. Son travail était abstrait. Le désir surgit de le concrétiser et de le relier à la réalité mathématique quotidienne. J'y ai consacré 54 ans, en formulant des problèmes concrets liés aux idées philosophiques de Gödel, irresolubles par les mathématiques standards (voir encadré 'Commun et non résolu').
Ne vous décourage-t-il pas ? Vladimir Arnold a avoué que Gödel l'avait déprimé.
« Au contraire, c'est positif ! En étendant les méthodes au-delà des standards acceptés, on résolve ces problèmes. Découvrir ces principes supérieurs me rend heureux. »
Le paradoxe du mille-pattes : réfléchir à marcher fait trébucher. Beaucoup de mathématiciens ignorent ces indémontrables...
« Correction : ce ne sont pas des paradoxes, mais des indémontrables. Gödel s'inspire des paradoxes (Crétois menteur, Russell), mais ses propositions sont improuvables, non contradictoires. »
Comme chez Cantor : le cardinal des sous-ensembles est supérieur à celui de l'ensemble.
« Le cardinal de tous les sous-ensembles de tout est-il plus grand que celui de tout ? Cela mène à contradiction. »
Les théorèmes de Gödel datent de 1931. Pourquoi tant de livres s'arrêtent-ils là ?
« Mon travail suit. L'impact de Gödel s'étend jusqu'aux niveaux secondaires, accessibles aux élèves attentifs. »
En Flandre, la théorie des ensembles a été supprimée en 1997, restaurée en 2019. Vos vues ?
« Utile pour les doués, non essentiel. Aux USA, le programme Arnold Ross expose les jeunes à mes travaux. Un cours de logique mathématique est indispensable, même en licence. »
« En étendant nos méthodes, nous découvrons des principes supérieurs. Cela me fait plaisir. » Harvey Friedman
Niveau mathématique en région ?
« Haut niveau, raison de mon choix pour Gand. (rires) »
Vous croiserez Jean Paul Van Bendegem (VUB)...
« Ultra-fini ou intuitionniste ? Discussions passionnantes en vue. »
Meilleur résultat ?
« La preuve que la disjonction a l'existence numérique, publiée dans PNAS sur recommandation de Gödel. »
Plus grand impact ?
« Mathématiques inverses : axiomes minimaux pour théorèmes. Aussi, arbres binaires et graphes, comme votre groupe. »
Fan d'échecs, un problème ?
« Des dizaines, mais je garde ma théorie et livre secrets. Désolé. »
Passion pour Horowitz ?
« Créativité suprême. Lien maths-musique à explorer. »
Les « arbres finis » sont des ensembles de nœuds reliés, sans boucles. Un arbre A est « intégrable » en B s'il y a une injection structurelle. Une séquence B1 à BM est « non K-chaotique » si |Bi| ≤ K+i. Affirmation indémontrable : pour tout K, existe M tel que toute séquence non K-chaotique de longueur M admet m < n avec Bm intégrable en Bn.
L'arbre gauche s'intègre au milieu et à droite (cercles bleus). Racines en rouge.
Pour K=3, non 3-chaotique, mais pas d'intégration pour M=10.
Harvey Friedman (°1948), mathématicien à Ohio State University, spécialiste en logique. Conférencier ICM 1974, prix Waterman 1984, Tarski 2007. Livre : Harvey Friedman's Research on the Foundations of Mathematics (1985).
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