À quel point un nombre premier peut-il être solitaire ? Non seulement ils peuvent être entourés de déserts premiers, mais ils peuvent également souffrir d'une sensibilité numérique qui rend les autres nombres premiers pratiquement inaccessibles. En 2020, Michael Filaseta de l'Université de Caroline du Sud a découvert un trouble de contact encore plus extrême avec certains nombres premiers :ils se sont avérés sensibles aux hypernombres. Cette année, il a également prouvé que ce n'est pas du tout un phénomène rare. Mais parce qu'elle ne se manifeste qu'aux très grands nombres premiers, cette propriété est restée sous le radar jusqu'à présent.
Quand il s'agit de chiffres, on parle bien sûr de « trait » plutôt que de « trouble ». Math n'a pas à être une animation Disney. En tout cas, cette année, Filaseta a prouvé que la sensibilité aux hyperchiffres n'est pas du tout une propriété rare des nombres premiers. Mais comme elle ne se manifeste qu'aux très grands nombres premiers, cette propriété est passée inaperçue jusqu'à présent.
La distance entre deux nombres premiers consécutifs est une mesure possible de leur solitude. Avec un nombre premier $P$ plus grand, on s'attend également à trouver un plus grand écart avec le prochain premier, à savoir une zone sans nombre premier de longueur moyenne $\ln(P)$. Si un écart premier est considérablement plus grand que le $\ln(P)$ attendu, les mathématiciens (ayant le sens du drame) l'appellent un désert premier †
Par exemple, après le nombre premier 14251728244437699411, un désert s'étend de longueur 1476 (jusqu'au nombre premier suivant), plus de 35 fois l'écart ln(1425172824437699411) ≈ 42 auxquels nous nous attendions. Ce désert de choix a été repéré en 2008 par Tomàs Oliveira e Silva †
Nous voudrions renvoyer les chercheurs d'oasis parmi vous au chapitre La solitude des nombres premiers de notre livre La splendeur des nombres premiers , ou d'après le beau livre récent d'Alex van den Brandhof :
Vous pouvez toujours visiter la page Web de Jens Kruse Andersen pour le dernier état des affaires concernant le désert.
Nous savons depuis 1978 que certains nombres premiers sont numériquement sensibles (numériquement délicats ) être. La question de leur existence a été lancée par le célèbre résolveur de problèmes Murray Klamkin, mais nous devons la réponse au légendaire problème-cracker Paul Erdős. Nous appelons un nombre premier un chiffre sensible s'il n'est plus premier lorsque nous changeons 1 chiffre arbitraire (en n'importe quel autre chiffre). Par exemple, 294001 est un nombre premier numérique sensible, car dès que vous modifiez (exactement) l'un des six chiffres, il n'est plus premier. Par exemple, si nous changeons le premier zéro de 294001 en 3, le nombre se décompose en un produit :$294301=7\times 42043$. Dans la terminologie de l'argot, les nombres premiers sensibles aux chiffres selon la métrique de Hamming n'ont pas d'autres nombres premiers comme voisins, ce qui peut donc également être considéré comme une indication de solitude.
À première vue, les nombres premiers semblent très rares, nous ne savions même pas qu'ils existaient jusqu'au siècle dernier. Soit dit en passant, l'exemple ci-dessus, 294001, est le plus petit nombre premier numériquement sensible. Mais en 1978, Paul Erdős a prouvé que les nombres premiers sensibles aux nombres sont en nombre infini. Cela s'applique même dans n'importe quel système de numération (mais ne paniquez pas, dans cet article, nous ne quitterons pas notre système décimal familier). Dans la photo emblématique ci-dessous, Erdős lit les calculs de l'enfant prodige Terence Tao, qui plus tard, en 2011, a prouvé que les nombres premiers représentent même une fraction positive parmi tous les nombres premiers, prouvant qu'il ne s'agit pas d'un phénomène marginal.
Certains théoriciens des nombres soupçonnent même qu'à un moment donné sur la droite numérique, chaque nombre premier devient sensible aux chiffres, et qu'il n'y a donc qu'un nombre fini de nombres premiers qui ne sont pas sensibles aux chiffres. Mais ce ne sont que des spéculations, tenons-nous en aux faits, ils valent déjà la peine d'être suffisamment connus.
À l'automne 2020, Michael Filaseta et Jeremiah Southwick ont établi dans leur article
Des nombres premiers qui deviennent composés après avoir changé un chiffre arbitraire L'accent est mis sur une forme encore plus extrême de sensibilité numérique. Après tout, dans certains contextes, il est permis de commencer un nombre (premier) dans la notation (décimale) avec un nombre de zéros. Ainsi par exemple 294001 peut aussi être représenté par 00294001. Mais de ce fait la sensibilité numérique de ce nombre premier disparaît, car 10294001 est à nouveau un nombre premier ! Y a-t-il peut-être des nombres premiers sensibles aux hyperchiffres (largement délicat sur le plan numérique ), des nombres premiers qui restent sensibles aux chiffres même après avoir ajouté un nombre quelconque de zéros ? Ci-dessous, nous voyons Michael Filaseta avec les vingt premiers nombres premiers sensibles aux chiffres sur son pull, mais aucun d'entre eux ne semble être hyper sensible aux chiffres.
Cependant, à la surprise de certains spécialistes, Filaseta et Southwick ont prouvé qu'il devait exister un nombre infini de nombres premiers sensibles aux hypernombres. Mais eux-mêmes ne pouvaient donner l'exemple. Après tout, c'est un outil de la boîte magique mathématique pour prouver l'existence de certains objets sans en connaître concrètement l'un d'entre eux. Preuve existentielle c'est appelé. Cette année, Filaseta est allé encore plus loin, prouvant avec son doctorant Juillerat que pour toute longueur arbitraire k$ il existe une séquence de k$ nombres premiers consécutifs, tous sensibles aux hyperchiffres. Un résultat qui flirte avec l'invraisemblance, et qui a tenté certains mathématiciens de suggérer qu'à partir d'un moment donné tout nombre premier doit être hyper-sensible aux chiffres.
Sans nuire à l'élégance existentielle de Filaseta, on peut aussi apprécier l'apport constructif de son collègue Jon Grantham, qui a réussi à trouver un prime concrète hyperdigit-sensible, que nous aimerions maintenant partager avec vous. Préparez-vous pour ce qui pourrait être le plus grand nombre jamais enregistré dans un Eos le blog est apparu :
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