En 2020, des mathématiciens ont démontré l'existence de nombres premiers délicats « larges », c'est-à-dire qui conservent leur propriété délicate même avec des zéros non significatifs ajoutés devant. En 2021, deux chercheurs de l'Université de Caroline du Sud ont prouvé que ces nombres rares ne sont pas plus solitaires que les nombres premiers classiques, une découverte réalisée pendant la période de quarantaine.
Rappelons que les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Ils sont essentiels en mathématiques discrètes et en cryptographie. Les nombres premiers délicats sont des premiers qui deviennent composés si l'un de leurs chiffres est modifié. Ils sont ainsi « vulnérables » : une simple altération les rend non premiers.
Exemple : 294001 est un nombre premier délicat. Toute modification d'un chiffre le rend composé, comme illustré par ces exemples (changements par position) :
290001, 291001, 294001, 295001... (positions des centaines de milliers) ;
234001, 294001, 304001... (dizaines de milliers) ;
et ainsi de suite pour chaque chiffre.
294101, 294201... (unités de milliers) ;
294011, 294021... (dizaines) ;
294000, 294002... (unités).
Ces nombres sont plus rares que les premiers ordinaires, mais infinis. Le plus petit est 294001, suivi de 505447, 584141, 604171 et 971767. Pour comparaison, il y a 25 premiers inférieurs à 100 et 78498 inférieurs à un million.
Les « premiers délicats larges » restent délicats quel que soit le nombre de zéros ajoutés devant (ex. : 00294001). Fin 2020, leur existence infinie a été prouvée, bien qu'aucun exemple explicite n'ait encore été trouvé.
« Il existe des nombres premiers devant lesquels vous pouvez ajouter des zéros sans compromettre leur délicatesse. »
Le roman à succès de Paolo Giordano, La Solitude des nombres premiers, popularise la notion de solitude des premiers : ils sont espacés, comme les jumeaux premiers (ex. : 3 et 5, 5 et 7), proches mais séparés par au moins un composite. Hormis 2-3 et le triplet 3-5-7, aucun premier consécutif n'existe.
Bonne nouvelle de 2021 : les premiers délicats larges forment des clusters, comme des paires, triplets ou suites arbitrairement longues dans la séquence des premiers. Ils ne sont donc pas plus solitaires, juste « seuls et perdus, proches mais pas assez pour se toucher ».
Des questions ouvertes persistent : identifier le premier exemple explicite, étudier les jumeaux délicats larges, etc. Les premiers jumeaux eux-mêmes font l'objet de conjectures (infinité probable, non prouvée).
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