Le résultat du tirage du Lotto est déterminé par sept boules numérotées, qui tombent à chaque fois dans des tambours rotatifs selon la même procédure. Mais un calcul mathématique produit des résultats qui mettent en doute. Le mécanisme du Loto est-il parfaitement aléatoire ?
Le résultat du tirage du Loto est déterminé par sept boules numérotées, qui tombent à chaque fois dans des tambours rotatifs selon la même procédure. Mais un calcul mathématique produit des résultats qui mettent en doute. Le mécanisme du Loto est-il parfaitement aléatoire ?
De 1978 à 1983, le résultat du loto était déterminé par sept numéros de 1 à 40. Après cela, la Loterie nationale a augmenté le nombre total à 42, et depuis octobre 2011, il est passé à 45. Les numéros choisis sont toujours lus sur des boules qui , selon un certain procédé tombent dans des tambours rotatifs. Ces tambours ont été remplacés plusieurs fois. Par exemple, entre 1993 et 2005, un tambour que les initiés appelaient "le diamant" a été utilisé. Cependant, le nombre de boules est resté le même et depuis 2005, le loto fonctionne avec le même tambour pour les numéros 42 et 45, et avec dix "colonnes" d'où tombent les boules.
Mais il est généralement connu que les balles dans, par exemple, une structure en grille ne tombent pas simplement. S'il existe un motif triangulaire qui empêche les balles de tomber droit devant, elles forment finalement ce que l'on appelle une "distribution binomiale". Ainsi, ils ne se trouvent pas simplement les uns sur les autres dans un tas aléatoire. Qu'en est-il de la courbe de distribution des boules qui tombent dans le mécanisme du Lotto ?
Notre intuition a du mal à imaginer combien de fois un nombre peut apparaître ou être absent dans n'importe quelle ligne
Lorsque le tirage du Lotto commence, les boules tombent à travers les trous d'un tambour presque simultanément. Cela signifie-t-il qu'ils atteignent également le fond du tambour de manière aléatoire ? Si l'on fait une comparaison avec des rangées de personnes poussant à travers une porte, on remarque qu'une rangée – gauche, droite ou centrale – est parfois écrasée par une autre. Il est donc loin d'être certain que le mécanisme de chute du Lotto soit aussi aléatoire qu'il y paraît.
Ensuite, un mouvement de rotation dans le tambour fait bouger et rebondir les balles de manière apparemment aléatoire. Et donc le résultat du Lotto serait imprévisible. Pourtant, on peut imaginer qu'un ordinateur surpuissant, programmé selon les lois classiques de la physique, puisse modéliser les choses et qu'il y ait donc peu de chance dans ces mouvements de tambour. Enfin, il y a bien sûr aussi une main "innocente", qui détermine quand une balle est sélectionnée. Mais cette main n'attend jamais très longtemps et n'imprime pas très rapidement. Donc, si le mécanisme et les conditions initiales sont toujours les mêmes, la statistique n'exclurait-elle pas le reste des facteurs de chance ? Ne pourrions-nous pas discerner quelque loi ? Nous l'avons mis à l'épreuve.
"Quelque chose" se passe
Sur le site Web du Lotto, vous trouverez un aperçu de tous les numéros tirés. Bien que le mécanisme ait changé en 1993 et 2005, toutes les données sont regroupées. Mais il existe également une archive plus détaillée, où nous pouvons sélectionner les données par date. Nous rassemblons ainsi d'une part les résultats entre 2006 et 2011, et d'autre part ceux de 2011. Comme nous ne savons pas exactement quand un nouveau tambour a été mis en service en 2005, nous travaillons avec les résultats entre 1er janvier 2006 et 30 septembre 2011 pour des raisons de sécurité. , et du 1er octobre 2011 à aujourd'hui.
Le tableau 'Combien de fois sort un numéro ?' indique le nombre de tirages, et donc le nombre de semaines, depuis qu'un numéro a été tiré pour la dernière fois. Les boules qui ont été tirées le jour où la statistique a été faite reçoivent donc le numéro 0. Le tableau est ordonné en fonction de l'endroit où les boules numérotées se trouvent dans la position de départ du tirage du Lotto. Sous chaque colonne se trouve la moyenne de cette colonne. Les maxima (rouge) et minima (vert) semblent indiquer qu'avant 2011, "quelque chose" n'allait pas avec le côté gauche du mécanisme, alors qu'après 2011, la partie droite semble surprenante.
De plus, nous avons mis une autre donnée statistique du Loto dans un tableau :à quelle fréquence un numéro a-t-il été tiré au cours de la période d'étude ? ? Nous calculons le total par colonne; la ligne ci-dessous indique la valeur attendue. Cela fait suite entre 2006 et 2011 au total de 4 193 (599 jours de tirage multipliés par 7 numéros) divisé par 42 balles. Nous multiplions ce résultat – 99,83 – selon la colonne par 5, ce qui donne 499,2, ou par 4, ce qui donne 399,3. Après 2011, le nombre total de boules est de 1 379 (197 jours de tirage multipliés par 7 numéros). En divisant par 45, on obtient 30,644, ce qui donne une valeur attendue de 153,22 pour les colonnes à 5 boules et une valeur de 122,58 pour les colonnes à 4 boules. Note complémentaire intéressante :bien que nous ayons environ quatre fois plus de chiffres pour la première période que pour la seconde période, les deux périodes sont statistiquement tout aussi pertinentes. Dans les deux cas, nous avons ensuite calculé l'écart entre le nombre réel et le nombre attendu et l'avons converti en pourcentage. Pour les deux périodes, ces chiffres sont frappants dans la partie droite du tableau :une différence de -15 % et +8 % (23 % combinés) pour 2011, et une différence de -20 % et +15 % (pas moins plus de 35 % !) après 2011. Mais ces chiffres sont-ils suffisants pour tirer des conclusions selon la méthode statistique ?
L'intuition trompe
Pour le savoir, nous consultons le professeur David Vyncke de l'Université de Gand, Département de mathématiques appliquées, d'informatique et de statistique. Avec son groupe de recherche sur la modélisation stochastique, il mène des recherches sur la gestion des risques dans le secteur financier, entre autres. "Il est difficile de tirer des conclusions du nombre de semaines pendant lesquelles une boule de Loto n'est pas tirée", dit-il. Il suffit de regarder le soi-disant paradoxe du plus long terme. Il indique que l'intuition humaine a du mal à imaginer combien de fois un certain nombre peut apparaître ou être absent dans une rangée de nombres aléatoires. Par exemple, la plus longue série de lancers non 6 dans n'importe quelle rangée de 200 lancers avec un dé dure environ 22 lancers en moyenne. Intuitivement, cela semble très surprenant, mais sur le plan statistique, ce n'est pas du tout le cas.'
Si le mécanisme du loto était aléatoire, il n'y a que 10 % de chances que ces écarts surviennent
Le Hongrois Tamás Varga a imaginé une expérience pour illustrer notre intuition erronée. Il a divisé une classe en deux groupes et a demandé à chaque élève d'écrire une rangée de deux cents têtes ou queues sur un morceau de papier. Les élèves d'un groupe devaient lancer une pièce de monnaie deux cents fois et écrire le résultat, les élèves de l'autre groupe devaient utiliser leur imagination et trouver eux-mêmes une ligne « aléatoire ». Ensuite, tous les papiers ont été rassemblés et Varga a essayé de les faire correspondre un par un au bon groupe. Pour la plupart des feuilles de papier, il réussit également, car il suffisait de compter le nombre maximum de fois qu'un élève avait écrit des têtes successivement. Dans une rangée vraiment aléatoire de 200, cette série la plus longue est d'environ 7 caractères en moyenne, et dans 95 % de ces rangées, la série la plus longue sera face au moins 5 fois. Mais un élève qui doit composer lui-même une rangée écrira rarement tête plus de 4 fois de suite. Le nombre de semaines pendant lesquelles la loterie ne tire pas de numéro conduit donc à des conclusions qui peuvent rapidement tromper notre intuition.
Concentrons-nous donc plutôt sur le nombre de fois qu'un nombre est tiré. Cela a abouti à une bagarre entre les bonnes balles avec à la fois le mécanisme de chute d'avant 2011 et celui d'après 2011. Le professeur Vyncke trouve l'idée d'étudier les boules par colonne très intéressante. Selon lui, cette méthode donne des résultats saisissants à première vue. «Nous utilisons une méthode statistique classique pour déterminer si un certain écart est dû au hasard:le test du chi carré. Ce test effectue une comparaison globale des fréquences observées avec les fréquences attendues dans chaque colonne.» Vyncke a effectué un tel test du chi carré sur nos données. Pour la situation de 2006 à 2011, où nous avons observé une différence de 23 %, il obtient une p-value de 0,10. Dans les données les plus récentes, avec une différence de 35 %, la valeur de p est de 0,45.
Cet écart de 0,45 n'est pas si exceptionnel, car cela signifie, en termes simples, que même si le mécanisme du Lotto fonctionnait complètement correctement de manière aléatoire, il y a encore 45% de chances qu'un tel écart global se produise. Dans le premier cas, cependant, la probabilité n'est que de 10%, bien que ce ne soit toujours pas une raison pour qu'un statisticien doute. Ce n'est que lorsque la probabilité est inférieure à 5 % qu'un statisticien rejette l'hypothèse d'un mécanisme parfaitement aléatoire.
Un cas statistique ?
Il y a, bien sûr, un autre facteur qui influence le tirage, qui est la « main innocente ». Peut-être, pour commencer simplement, devrions-nous effectuer des tests statistiques avec un tambour de loto stationnaire. Les balles tombent alors simplement dans le tambour à partir de la même position de départ. Y aurait-il des lois, comme pour la distribution binomiale, si sept boules étaient toujours tirées de la même manière ? Il y a de grosses sommes d'argent impliquées dans le Lotto (voir 'Miser sur la science'), donc une telle recherche peut certainement être utile. La différence de 23 % pour les tirages entre 2006 et 2011, et de 35 % de 2011 à aujourd'hui, est certainement frappante. Le fait qu'il n'y ait que 10% de chances de telles anomalies si le mécanisme du loto fonctionne de manière parfaitement aléatoire semble dérangeant. Mais vous ne pouvez pas renverser l'argument et dire qu'il n'y a que 10 % de chances que le mécanisme fonctionne correctement. Le statisticien Vyncke ne veut donc pas tirer de conclusions de grande portée. «Il y a effectivement des différences majeures entre les colonnes, mais je pense qu'elles sont dues au hasard.» En tout cas, l'affirmation du grand économiste Geert Noels n'est pas tout à fait correcte. Il prétend que le loto est "pour les idiots". Mais les boules numérotées sont clairement aussi de la nourriture pour les "esprits intelligents".
Miser sur la science
Depuis le 4 février 1978, la Loterie Nationale de Belgique organise chaque semaine le jeu de hasard Loto. La Loterie nationale est née de la Loterie coloniale, fondée en 1934, qui avait officiellement pour but de collecter de l'argent pour la colonie, mais qui parfois n'apparaissait pas aussi attrayante sur les affiches. En 2002, la Loterie Nationale est devenue une société anonyme. Le Loto a rapporté l'an dernier pas moins de 490 millions d'euros de la Loterie Nationale. La NV redistribue la moitié de ce montant sous forme de prix. L'autre moitié, après déduction des fonds de fonctionnement, ira à des subventions pour des projets et des organisations – bien que le parlement doive donner son accord. Ces projets et organisations comportent également des objectifs scientifiques. Jouer au Loto est donc un moyen de soutenir financièrement la science.
