L'histoire plutôt mathématique de l'invention du jeu d'échecs et de la récompense de son inventeur est bien connue. L'Empereur des Indes demanda à cet inventeur ce qu'il voulait comme récompense, et la réponse fut :mon échiquier rempli de grains de riz, un sur la première case, deux sur la seconde, quatre sur la troisième, puis doublé à chaque fois .
Ainsi, le dernier champ contient $2^{63}$ grains de riz, et le nombre total peut être calculé comme suit :
$$\large \begin{array}{rcl@{}l} \mbox{total} &=&1+ \!\! &2+2^2+2^3+\ldots+2^{62}+2^{63} \\
2\cdot \mbox{total} &=&&2+ 2^2 +2 ^3 +\ldots+2^{62}+2^{63}+2^{64}
\end{array}$$ Maintenant, si nous soustrayons la somme supérieure de la somme inférieure, nous trouvons pour le grains de riz totaux :
$$\large \mbox{total} =2^{64}-1 =18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615 $$ L'empereur a d'abord pensé qu'il s'agissait d'un vœu plutôt modeste, mais il s'est vite rendu compte que ce n'était pas le cas...
Le même genre de sentiment a dû envahir les élèves de la St. Mark's School de Southborough, Massachusetts, à leur arrivée le 2 avril a tenté de battre le record du monde de pliage de papier. Le pliage de papier se fait en pliant une feuille de papier en deux, puis en deux à nouveau, et ainsi de suite. Donc à chaque fois doubler, ou encore et encore fois deux, comme dans la fable de l'échiquier.
Le précédent record du monde était détenu par Britney Gallivan, et remonte à 2002. Elle a réussi à plier le papier en deux douze fois. Avant cela, elle a acheté un (gros) rouleau de papier toilette pour 85 $ et a commencé à travailler dessus. Elle a d'abord calculé combien il y avait de perte avec les plis :
Le rouleau de Britney contenait 1200 m de papier toilette. Ici vous pouvez voir le résultat après avoir plié 11 fois :
Cela a mis un terme brutal à l'idée qu'on ne peut plier le papier que sept ou huit fois.
Britney était encore au lycée lorsqu'elle a accompli cela. L'occasion était une chance de gagner des points supplémentaires en pliant quelque chose en deux 12 fois.
Il doit y avoir place à l'amélioration, pensaient les élèves de l'école St. Mark's. Ou peut-être était-ce leur professeur de mathématiques, James Tanton ? Avant que la tentative de record puisse être faite, quelques obstacles ont dû être surmontés. L'un des plus gros obstacles était… le vent. Il n'a pas simplement laissé le papier toilette là où il devrait être. Travailler à l'intérieur s'est avéré être la solution, et un bon environnement était Infinite Corridor du MIT. Ce couloir de 251 m de long relie un certain nombre de bâtiments du Massachusetts Institute of Technology (et deux fois par an, le soleil se couche exactement dans l'axe du couloir, voir photos, un phénomène appelé MITHenge).
Les élèves de Saint-Marc ont commencé avec environ 4000 m de papier toilette. Ils sont allés se coucher 13 fois ! Si nous supposons que l'épaisseur du papier est de 0,1 mm, alors après avoir plié 13 fois, vous arrivez à une épaisseur d'environ 82 cm.
Mais bien sûr, vous devez également tenir compte du fait que plier en deux en anglais, c'est plier en deux. Donc ce qui reste doit aussi avoir une certaine longueur. Si on ne tient pas compte des effets de bord, et qu'on divise les 4000 m par 2 13 fois, il reste environ 50 cm. Dans cette vidéo, vous pouvez voir que c'est un peu moins (dans la vidéo, vous voyez également une apparition (?) de Martin Demaine, l'artiste américain connu pour ses pliages de papier - les œuvres liées ont récemment été exposées à Rotselaar - et dont le fils Erik a été évoqué dans un précédent blog).
Il n'est pas certain que cette tentative de record soit reconnue, car comme vous pouvez le voir dans la vidéo, il faut beaucoup d'efforts pour plier le papier au treizième plier tenir. James Tanton a déjà annoncé qu'il retenterait l'année prochaine, mais cette fois avec suffisamment de papier. Vous voyez donc que le papier toilette a des applications mathématiques inattendues !
