Maintenant que le soleil brille plus souvent, admirez ces beaux paysages naturels partout autour de vous. Comme celui-ci :
Ou celui-ci, avec une tasse de café :
Une version améliorée apparaît grâce à un anneau de garniture cylindrique (voir ci-dessus).
Il s'agit de la courbe tracée par la réfraction de la lumière solaire dans cet anneau, appelée caustique de tasse de café (Coffeecup Caustic). Cette courbe catacoustique a été étudiée par les mathématiciens depuis des siècles. J'ai longtemps pensé que Christiaan Huygens (1629-1695) en fut le premier dans son Traité de la lumière (1678).
Le terme « kaustique » fut introduit par Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651-1708), dérivé du grec signifiant « brûler ». En néerlandais, on parle de « courbe de feu », par analogie avec le foyer d'une parabole, où les rayons parallèles à l'axe se réfléchissent en un point unique si la surface est spéculaire.
Von Tschirnhaus, célèbre pour l'invention de la porcelaine européenne, fabriqua aussi de grands « miroirs à feu » pour atteindre des températures élevées, expliquant son intérêt. L'histoire raconte qu'Archimède incendia la flotte romaine lors du siège de Syracuse (deuxième guerre punique) à l'aide de miroirs en bronze.
J'ai été surpris récemment par cette figure dans les cahiers de Léonard de Vinci (1452-1519), dans le Codex Arundel (début XVIe siècle) :
Une représentation moderne ressemble à ceci :
Quelle est cette courbe ? Elle est tangente aux rayons réfléchis, formant l'enveloppe des rayons. Les méthodes pour calculer son équation sont anciennes. Ici, il s'agit d'une demi-néphroïde, une épicycloïde générée par le roulage d'un cercle autour d'un cercle fixe sans glissement, en suivant un point sur le cercle mobile :
Au fil des siècles, ces caustiques ont passionné des mathématiciens éminents comme les Bernoulli, ou Adolphe Quetelet (1796-1874), statisticien belge et « inventeur » de l'indice de masse corporelle.
En s'y penchant, on découvre un univers de courbes exotiques : développées, développantes, orthotomiques... Par exemple, la caustique d'une cycloïde est une cycloïde réduite de moitié :
Et la caustique de la fonction exponentielle est la célèbre caténaire :
Pour approfondir, je recommande le livre de Johann Bernoulli (1667-1748) (traduction allemande, chapitres sur les caustiques dès p. 110), ou le premier manuel de calcul de Guillaume de l'Hôpital (1661-1704) (dès p. 148). Ces sujets restent actuels en infographie, domaine du blogueur Philip Dutré.
Voici une image générée par ordinateur :
Et une vue complète :
Ressources pour en savoir plus
