Sur leur site mersenne.org Le 21 décembre 2018, le projet bénévole GIMPS a annoncé la découverte d'un nouveau record premier, un nombre à près de 25 millions de chiffres. Vous pouvez le voir dans le titre de cet article. Le nombre premier a été trouvé le 7 décembre 2018 (et c'est bien de voir que cette date est encodée dans les décimales du nombre premier, voir les nombres rouges;-).
C'est le plus grand nombre premier connu à ce jour. Pour ceux qui ne le savent pas encore :les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…) sont ces entiers positifs qui ne peuvent pas être écrits comme le produit d'autres entiers positifs autres que 1, ils sont par définition seulement divisible par 1 et lui-même. Le mathématicien grec Euclide avait déjà prouvé formellement au IIIe siècle avant J. 
Pourtant, la découverte d'un nouveau nombre premier record doit être considérée comme un exploit, car il n'existe toujours pas de méthodes efficaces pour générer un nombre premier avec, disons, 400 chiffres, ou pour vérifier si un nombre donné est premier. Un ordinateur moderne a besoin de plus de temps que l'âge de l'univers pour tester un nombre à 1000 chiffres.
Le nouveau record est donc au nom de GIMPS, l'abréviation de Great Internet Mersenne Prime Search † Ce projet connecte actuellement plus de 1 800 000 processeurs d'ordinateurs dans le monde, dans des universités ainsi que dans des maisons de bénévoles, effectuant environ 300 000 $\fois 10^{12}$ de calculs par seconde pendant les heures de pointe. GIMPS trouve les grands nombres premiers de la forme $2^p-1$ avec $p$ lui-même premier, les nombres premiers de Mersenne du nom du mathématicien du XVIIe siècle Marin Mersenne. Heureusement, pour les nombres de Mersenne (nombres de la forme $2^p-1$), il existe des méthodes efficaces pour tester s'ils sont premiers, et il n'est pas vrai que chaque nombre inférieur au nombre premier proposé doive être testé s'il est un diviseur ou pas.
Ce n'est pas un hasard si tous les enregistrements récents sont en effet des nombres premiers de Mersenne (voir tableau ci-dessous). En même temps, nous devons avertir que les mathématiciens ne savent toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Mersenne, donc toute performance record de GIMPS pourrait bien être la dernière.
La découverte d'un nouveau record peut gagner des applaudissements et faire la une des journaux, mais la plupart des gens se demandent sans doute pourquoi tant d'énergie est dépensée à rechercher des nombres premiers gigantesques. Pourquoi ce remue-ménage ? N'est-ce pas une perte de temps et d'argent ? Cette critique, qui n'est peut-être pas complètement injustifiée, est formulée à sec dans la lettre du lecteur ci-dessous du Washington Post du 22 juin 1993, qui est conflictuelle pour les mathématiciens. C'est une réponse à une solution à un problème dans la théorie de Ramsey , un domaine des mathématiques qui examine le nombre minimum d'éléments requis pour que le groupe ait certaines propriétés.
Avale, ça arrive. Sans réfuter complètement la critique ci-dessus, nous allons néanmoins essayer de lister quelques motivations qui sous-tendent le travail des prime hunters. justifier un peu. Parce que nous avons enseigné et diffusé les mathématiques à nos semblables toute notre vie, nous avons l'habitude de nous faire l'avocat du diable.
Pour les maths. Même si les nombres premiers sont les éléments constitutifs de la théorie des nombres (chaque nombre peut être écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers), leur distribution est si erratique qu'ils ont captivé les mathématiciens pendant des siècles. La recherche de grands nombres premiers fait donc partie du folklore mathématique, avec l'effet secondaire favorable que leur étude conduit à de nouvelles connaissances et à l'émergence et à l'épanouissement de sous-domaines au sein de la théorie des nombres. Dans ce contexte, nous voudrions certainement mentionner l'une des plus grandes énigmes mathématiques du moment, la conjecture de Riemann d'un million de dollars encore non résolue. .
Pour la sécurité. Les grands nombres premiers sont à la base du cryptage RSA, le système de sécurité le plus largement utilisé pour les transactions bancaires, le trafic Internet et d'autres communications nécessitant une écoute clandestine. Les implémentations RSA actuelles utilisent de très grands nombres premiers, entre 300 et 600 chiffres. Il y a environ 10 nombres premiers de 300 chiffres, suffisamment longs pour assurer la sécurité de générations de secrets, de sorte que les nombres premiers records des dernières décennies ne peuvent pas être vendus au grand public comme étant d'une quelconque utilité pratique à cet égard.
Pour les mystiques. Les anciens Grecs étaient fascinés par les soi-disant nombres parfaits , nombres en équilibre avec leurs diviseurs. Un nombre parfait est exactement égal à la somme de ses diviseurs, dont 1, mais bien sûr pas le nombre lui-même. Par exemple :6=1+2+3 est parfaitement équilibré. Si la somme des diviseurs (sauf le nombre lui-même) est strictement inférieure au nombre, alors les Grecs considéraient ce nombre comme défectueux † Si cette somme est supérieure au nombre en question, alors les Grecs les appelaient abondantes ou excès † Les nombres premiers sont extrêmement imparfaits en raison de l'absence de diviseurs, mais aussi, par exemple, 8 est insuffisant :1+2+4 <8. Le nombre 12 a trop de diviseurs et est abondant :1+2+3+4+6> 12 Les Grecs, mais aussi les Égyptiens, puis les Chrétiens, attribuaient aux nombres parfaits des propriétés mystiques et religieuses. Cependant, seuls quatre étaient connus dans l'Antiquité :6, 28, 496 et 8128. Notez que tous ces nombres parfaits sont pairs. Jusqu'à présent, aucun nombre parfait impair n'a été trouvé et il y a de fortes indications que les nombres parfaits impairs n'existent pas. Mais nous ne sommes pas encore tout à fait sûrs. C'est probablement le plus ancien problème non résolu en mathématiques !
Mais qu'est-ce que tout cela a à voir avec les nombres premiers records découverts par GIMPS ? Eh bien, Euclide avait découvert un procédé pour construire des nombres parfaits. Prenez un nombre premier de Mersenne $2^p-1$ (Euclide n'a évidemment pas utilisé ce nom) et $2^{p-1}\times (2^{p} - 1)$ est garanti pour donner un nombre parfait. Plus tard, au 18ème siècle, Euler a prouvé que tous même des nombres parfaits peuvent être créés de cette manière :
$p =2 :$ $2^{1}\fois (2^{2} -1) =6$
$p =3 :$ $2^{2}\fois (2^{3} -1) =28$
$p =5 :$ $2^{4}\fois (2^{5} -1) =496$
$p =7 :$ $2^{6}\fois (2^{7} -1) =8128$
Depuis la fin de l'année dernière, nous avons connu 51 nombres premiers de Mersenne, et donc aussi 51 nombres parfaits. Personne ne sait combien attendent encore d'être découverts.
Pour les tests matériels. Même lors de la construction des premiers ordinateurs, des tests de perforation ont été utilisés pour détecter les erreurs matérielles. Par exemple, les programmes GIMPS ont été utilisés par Intel pour tester les puces Pentium II et Pentium Pro avant leur sortie. Un autre projet mathématique gigantesque (avec des nombres premiers) a découvert le tristement célèbre bogue du Pentium en 1994. Et il y a quelques années, le logiciel GIMPS a découvert une faille dans le processeur Intel Skylake. La recherche de grands nombres premiers (Mersenne) est-elle finalement utile ?
Mais peut-être qu'on le fait juste…
Pour l'argent. La recherche de grands nombres premiers peut certainement être considérée comme un concours de prestige, avec des primes de profit associées, comme dans d'autres sports. La Fondation de la frontière électronique (EFF) est une association américaine de consommateurs axée sur les droits et la vie privée des internautes. Grâce aux dons d'un mystérieux sympathisant, l'EFF a l'opportunité d'offrir des prix aux briseurs de records, dans le but de stimuler la collaboration informatique mondiale. Chaque nouveau plus grand nombre premier rapporte $\$$3000. Le premier à trouver un nombre premier avec plus de 100 000 000 chiffres gagne 150 000 $\$$, plus d'un milliard de chiffres rapporte 250 000 $\$$.
