En 2020, il a déjà été prouvé que dans la classe des nombres premiers dits délicats, il existe également des nombres premiers largement délicats. Et en 2021, deux chercheurs de l'Université de Caroline du Sud ont découvert que ces nombres premiers larges et délicats sont "seulement" aussi solitaires que les nombres premiers ordinaires. Et cela en période de quarantaine.
Juste pour rafraîchir :les nombres premiers ne sont divisibles que par un et eux-mêmes. Ils jouent un rôle majeur dans les mathématiques discrètes, peut-être la branche la plus élégante des mathématiques. Mais ils font aussi leur travail en masse dans de nombreuses technologies actuelles, comme la cryptographie. Les nombres premiers délicats sont des nombres premiers qui ne sont plus premiers en changeant de chiffre. Ils sont donc premiers, mais en même temps « vulnérables ». Après tout, toute faute d'orthographe, dans et vers n'importe quel nombre, les rend non premiers. Il écoute attentivement.
Par exemple, prenez le numéro 294.001. Un nombre premier délicat ? Oui, car toute faute de frappe en gras dans la série ci-dessous est "mortelle" et la rend non prioritaire :
290001, 291001, 294001, 234001, 994001, 234001, 994001, 234001, 994001, 234001, 224001, 234001, 264001, 234001, 264001, 234001, 264001, 271001, 294001, 271001, 294001, 271001, 292001, 291001, 292001, 291001, 292001, 291001, 292001, 291001, 292001, 291001, 292001, 291001, 292001, 293001, 295001, 296001, 297001, 298001, 299001
294101, 294201, 294301, 294401, 294501, 294601, 294701, 294801, 294901
294011, 294021, 294031, 294041, 294051, 294061, 294071, 294081, 294091
294000, 294002, 294003, 294004, 294005, 294006, 294007, 294008, 294009
Ces nombres premiers sont-ils rares ? Ils sont certainement plus rares que les variantes "régulières". Mais tout bien considéré, ça va. 294 001 est le plus petit, suivi de 505 447, 584 141, 604 171 et 971 767. Et au-dessus d'un million, il y en a beaucoup plus, une infinité en fait. À titre de comparaison :parmi les nombres premiers ordinaires, nous en avons déjà 25 qui sont inférieurs à cent et 78 498 qui sont inférieurs à un million. C'est donc un peu plus mince, ce délicat. Qu'en est-il de ces chiffres larges et délicats ?
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre avec ou sans zéros non significatifs. 294001 ou 0294001 ou 00294001 :tout est possible. Fin 2020, il a été prouvé que les nombres premiers existent aussi avec cette propriété particulière :peu importe le nombre de zéros que vous mettez devant eux, ils restent délicats. Punition, non ? Petit détail :aucun n'a encore été trouvé. Mais il a été prouvé qu'il existe des nombres premiers pour lesquels vous pouvez mettre un nombre illimité de zéros devant lesquels vous ne pouvez pas mal orthographier un seul chiffre, ou ils deviennent non premiers.
'Il existe des nombres premiers devant lesquels vous pouvez mettre des zéros sans fautes d'orthographe, sinon ils ne deviennent pas premiers'
Et la solitude maintenant ? Avec son best-seller international, La solitude des nombres premiers, le romancier italien Paolo Giordano montre que le grand public est bel et bien préoccupé par les nombres premiers. Et que l'aspect solitaire de ces quantités particulières ne nous laisse pas indifférents en tant qu'êtres humains. Dans son roman, Giordano parle des nombres premiers jumeaux et de la manière dont ils illustrent la solitude des nombres premiers :"Seuls et perdus, proches les uns des autres, mais pas assez proches pour se toucher".
Ce que Giordano écrit est en effet correct. Si vous montez plus haut dans la tour des nombres premiers, vous ne trouverez jamais deux nombres premiers l'un au-dessus de l'autre. Ils sont toujours séparés par au moins un étage entre eux. Ils sont alors appelés nombres premiers jumeaux, comme 3 et 5, ou 5 et 7. Et ne vous méprenez pas, 2 et 3 se touchent, et (3, 5, 7) est même un triple premier. Mais c'est tout. Parce qu'à part 2 et 3 il n'y a pas de nombres premiers qui se touchent, et à part (3, 5, 7) il n'y a pas de triplets premiers. Il est donc très seul sur cette tour.
Passons maintenant à la bonne nouvelle de 2021 :les nombres premiers larges et délicats, aussi rares soient-ils, ne sont en fait pas plus solitaires que les nombres premiers communs. Car ils viennent en séries entières de deux, trois ou même un nombre illimité de nombres premiers consécutifs. Pas nécessairement comme des nombres premiers jumeaux, mais toujours proches les uns des autres dans la séquence des nombres premiers. Il existe donc des séquences de deux nombres premiers larges-délicats. Et aussi des ensembles de trois. Et ainsi de suite. Dans l'ensemble, ces nombres ne sont pas plus solitaires que les nombres premiers normaux, ils sont juste un peu seuls et perdus, proches les uns des autres, mais pas assez proches pour se toucher réellement.
Et il y a d'autres bonnes nouvelles. Si ce simple mortel a bien compris, les beaux geeks derrière cette découverte ont encore du travail à faire. Cherchez un premier nombre premier large et délicat, par exemple, et découvrez ce que c'est exactement. De plus, ils peuvent se demander s'il existe aussi des nombres premiers jumeaux délicats larges, et s'il y en a beaucoup ? Nous pouvons vivre avec ces incertitudes pour le moment, car nous en savons peu sur les nombres premiers jumeaux de toute façon. Sauf qu'ils sont seuls. Les mathématiciens pensent qu'il y en a une infinité, mais ce n'est pas certain. Peut-être quelque chose pour 2022 ?
