Il n'est pas nécessaire que ce soit déjà 7... Même les nombres supérieurs à un million méritent d'être étiquetés comme favoris !
Reste à savoir s'il est logique d'avoir un numéro préféré, mais le fait est que beaucoup de gens en mentionnent un lorsque vous leur posez cette question, souvent même instantanément. Plus d'une fois ce numéro a une signification particulière dans leur vie personnelle (le jour de leur anniversaire ou anniversaire de mariage, leur numéro de maison, ...) ou a-t-il une signification religieuse ou est-ce une superstition culturelle (voir par exemple cet aperçu de quelques nombres et leur signification symbolique † Un chimiste peut répondre par le numéro atomique de son élément préféré, fans du Guide du voyageur galactique répond invariablement 42$, et Sheldon Cooper a toutes les raisons du monde de choisir 73$ comme chiffre préféré (cliquez sur les chiffres pour plus d'explications).
Il y a quelques années, Alex Bellos a fait une enquête en ligne sur le numéro préféré des gens qui a montré que 7 était le numéro préféré le plus courant. De plus, la grande majorité a choisi petit nombres :le plus petit nombre non mentionné était 110. Non pas que 110 doive être étiqueté comme grand dans l'infinité de nombres à sélectionner, mais pourquoi les grands nombres sont-ils rarement choisis ? Cette question a récemment été posée sur YouTube par James Grime et Matt Parker, lançant simultanément l'appel pour vos propres MegaFavNumbers , étant vos numéros préférés supérieurs à un million, à partager avec le monde, accompagnés de la raison pour laquelle ce numéro particulier est si spécial. Bien sûr, nous ne pouvons pas rester en retrait.
Le nombre $\pi$ a défié l'imagination des mathématiciens pendant des siècles, et les décimales de $\pi$ contiennent de nombreuses particularités et mystères. C'est une conjecture non prouvée que chaque nombre possible se produit quelque part dans ce nombre infini de décimales, quelle que soit la longueur de ce nombre. Examinons les 100 premiers chiffres après la virgule de $\pi$ :
$3.14159\,26535\,\,89793\,23846\,\,26433\,83279\,\,50288\,41971\,\,69399\,37510$
$58209\,74944\,\,59230 \,78164\,\,06286\,20899\,\,86280\,34825\,\,34211\,70679$
Le premier nombre à 1 chiffre qui apparaît après la virgule est bien sûr le nombre $1$ (commençant à la 1ère place après cette virgule). $1$ s'avère également être le premier nombre à 1 chiffre qui apparaît deux fois :en 1ère place et en 3ème place. Si on cherche le premier nombre de 1 chiffre qui apparaît 3 fois, on trouve aux places 4, 8 et 10 le nombre $5$. Le premier qui apparaît 4 fois est le nombre $3$ :aux positions 9, 15, 17 et 24. Et ainsi de suite.
On peut faire de même pour les nombres à 2 chiffres. Le premier nombre à 2 chiffres qui apparaît 1 fois est $14$, mais il devient vite clair que le premier nombre de n'importe quelle longueur commence toujours en position 1, donc ce n'est pas aussi intéressant qu'une quête. Cela devient plus fascinant si, comme auparavant, nous recherchons des nombres qui se produisent plusieurs fois pour la première fois. Le premier nombre à 2 chiffres qui apparaît deux fois est donc $\color{red}{26}$, commençant à la position 6 et à la position 21 :
$3.14159\,\color{rouge}{26}535\,\,89793\,23846\,\,\color{rouge}{26}433\,83279\,\,50288\,41971\,\,69399\ ,37510$
Le premier nombre à 2 chiffres qui apparaît 3 fois est $\color{blue}{93}$, en position 14, 42 et 45 :
$3.14159\,26535\,\,897\color{bleu}{93}\,23846\,\,26433\,83279\,\,50288\,41971\,\,6\color{bleu}{93}9 \color{bleu}{9\,3}7510 $
Et dans les 100 décimales ci-dessus, nous trouvons également le premier nombre à 2 chiffres qui apparaît 4 fois ($\color{red}{62}$, aux places 20, 72, 75 et 82), mais aussi le premier nombre de 3 chiffres qui apparaissent deux fois ($\color{blue}{592}$, à la place 4 et 61) :
3 141 $\color{bleu}{59\,2}6535\,\,89793\,2384\color{rouge}{6\,\,2}6433\,83279\,\,50288\,41971\,\, 69399\,37510$
$58209\,74944\,\,\color{bleu}{592}30\.78164\,\,0\color{rouge}{62}8\color{rouge}{6 \,2}0899\,\,8\color{rouge}{62}80\,34825\,\,34211\,70679$
De cette manière, nous pouvons généralement rechercher le premier nombre de $k$ chiffres qui apparaît $n$ fois dans les décimales de $\pi$, bien que vous ayez bien sûr rapidement besoin de bien plus que 100. On obtient alors le tableau ci-dessous, avec le nombre de chiffres $k$ dans la ligne du haut et l'occurrence $n$ dans la colonne de gauche :
Notez que les nombres peuvent commencer par un 0 dans ce contexte. Par exemple, $019$ est le premier nombre à 3 chiffres qui apparaît 6 fois, et $0582$ est le premier nombre à 4 chiffres qui apparaît deux fois. Spéciaux sont les nombres sur la diagonale du tableau (en gras), étant les premiers nombres de $n$ chiffres qui se produisent $n$ fois (ligne A331881 dans l'Encyclopédie en ligne des séquences d'entiers ):
$1, 26, 446, 2796, 86538, 872117, 1591292, 66416662, \ldots$
Étant donné que la mission consistait à choisir un nombre préféré supérieur à un million, Stijn choisit le premier nombre à 7 chiffres qui apparaît 7 fois dans les décimales de $\pi$ :$1\,591\,292$.
Ou écrit en toutes lettres :
$231\,584\,178\,474\,632\,390\,847\,141\,970\,017\,375\,815\,706\,539\,969\,331\,281\ ,128\,078\,915\,168\,015\,826\,259\,279\,871$
Un peu moins modeste par la taille, mais non moins intéressant par l'histoire qui se cache derrière.
Outre les décimales de $\pi$ et tout ce qui s'y rapporte, il existe une autre constante dans l'histoire des mathématiciens du monde entier et de leurs fascinations :les nombres premiers. Nous revenons au début du XVIIe siècle et voyageons au palais royal de Paris (alors cela était encore possible sans quarantaine obligatoire), où nous retrouvons un certain Marin Mersenne dans une cellule de moine :à la fois prêtre et mathématicien de formation. Les nombres premiers de Mersenne portent son nom :nombres premiers de la forme $2^p-1$ où $p$ lui-même est un nombre premier. Mais attention, tous les nombres premiers $p$ ne conduiront pas à un nombre premier de Mersenn de cette manière. Par exemple, $2^{11}-1 =2047 =23 \times 89$. En 1644, il publie une liste de onze nombres premiers de ce type, dont les huit premiers sont ici :
Mersenne a peut-être compilé cette liste, mais c'est le mathématicien suisse Leonhard Euler qui a prouvé seulement cent ans plus tard que $M_{31}$ était effectivement un nombre premier. (Pour les passionnés :Euler a d'abord prouvé que tous les facteurs premiers possibles de $M_{31}$ doivent avoir un reste 1 ou un reste 63 lors de la division de $M_{31}$ par 248, puis il a vérifié manuellement tous les nombres premiers de cette forme qui sont plus petits sont $\sqrt{M_{31}}$. Euler était complètement aveugle à l'époque, ce qui rend son exploit encore plus impressionnant.) Les trois autres chiffres de la liste de Mersenne étaient $M_{67}$, $M_{127 }$ et $M_{257}$. Mais malheureusement, les choses ont mal tourné ici deux fois.
L'une des conférences les plus mémorables de l'histoire des mathématiques a été donnée en 1903 par Frank Cole, alors secrétaire de l'American Mathematical Society. † Armé d'une craie à la main, il a commencé le calcul (manuel) de 2 $^{67}$ au tableau de bonne humeur. Il a soustrait 1 au résultat et a écrit le résultat final au bas du tableau :147 $\,573\,952\,589\,676\,412\,927 $. Il écarta le reste et commença tout aussi manuellement à calculer le produit $193\,707\,721 \times 761\,838\,257\,287$. Vous l'avez deviné :un peu plus tard, le résultat de ce produit s'est avéré correspondre parfaitement au $2^{67}-1$ précédemment calculé. Une conférence au cours de laquelle Cole n'a pas dit un mot, mais le public l'a justement récompensé par une standing ovation :Frank Cole avait prouvé que Mersenne avait tort et que $M_{67}$ n'était pas un nombre premier.
Cole a admis plus tard qu'il avait cherché tous les dimanches pendant trois ans pour trouver la factorisation de $M_{67}$ comme produit de deux nombres. Mais cette reddition s'efface devant la dédicace d'Édouard Lucas :Lucas sacrifie son temps libre pendant 19 ans pour finalement prouver en 1876 que $M_{127} =170\,141\,183\,460\,469\ ,231\ ,731\,687\,303\,715\,884\,105\,727$ est bien un nombre premier. Ici, Mersenne avait raison dans sa liste initiale. C'est toujours le plus grand nombre premier jamais obtenu à la main, et ce n'est que 75 ans plus tard (avec l'aide d'ordinateurs) qu'un plus grand nombre premier serait trouvé. Entre-temps, trois autres nombres premiers de Mersenne ne figurant pas dans la liste d'origine ont été découverts :$M_{61}$ (Pervushin, 1883), $M_{89}$ (Powers, 1911) et $M_{107}$ (Powers , 1914 ).
S'appuyant sur les travaux de Lucas, c'est Derrick Henry "Dick" Lehmer qui a développé un test pour déterminer si les nombres sont premiers ou non :le soi-disant test de Lucas-Lehmer. Pour les grands nombres, il devait encore y avoir beaucoup de calculs, mais pour les nombres de Mersenne, ce n'était somme toute pas si mal. Le mathématicien belge Maurice Kraitchik a utilisé ce test en 1922 pour prouver que le dernier nombre de la liste originale de Mersenne, $M_{257}$, n'était pas premier. Cependant, il n'était pas sûr à cent pour cent de ses calculs - à juste titre, car Kraitchik faisait souvent des erreurs de calcul - alors il a demandé l'aide de Lehmer. Il a pu confirmer le résultat en 1927 en utilisant une machine mécanique avec dix-neuf chaînes de vélo, une machine qu'il avait construite avec sa femme Emma Lehmer, plus connue sous le nom d'Emma Lemma.
En fait, la machine à chaîne de bicyclette que Lehmer a construite était le précurseur de son tamis photoélectrique qu'il a développé en 1932, qui ne prenait que quelques minutes pour vérifier dix millions de diviseurs candidats pour un nombre donné. Avec cela, il a réussi à factoriser, par exemple, $M_{93} =2^{93}-1$, ce qui prendrait une personne diligente qui calcule dix heures par jour environ cent mille ans (affirme Lehmer lui-même). C'était le précurseur des ordinateurs qui ont été utilisés depuis les années 1950 pour les tests de nombres premiers et pour trouver de nouveaux nombres premiers toujours plus grands (Mersenne). En 1952 SWAC (le ordinateur automatique occidental standard ) par exemple, il ne reste que 48 secondes pour prouver ce sur quoi Lehmer et sa femme ont passé 700 heures : $M_{257}$ n'est pas premier.
Pour faire court :il a donc fallu près de 300 ans pour vérifier la liste originale de Mersenne. La liste s'est avérée contenir cinq erreurs:trois nombres premiers de Mersenne ont été négligés et deux nombres ont été mal répertoriés. Le plus grand nombre sur la liste, $M_{257}$, s'est malheureusement avéré être l'un de ces envahisseurs déplacés, vérifié à la main par un mathématicien belge en 1922 et plus tard construit à la machine a été sécurisé avec des chaînes de vélo. Et c'est pourquoi ce numéro est le numéro méga-favori de Paul.
Enfin, nous aimerions partager certaines de nos entrées en ligne préférées (par ordre croissant de taille du nombre en question, sans classement qualitatif de notre part), qui valent toutes le détour :
