Année après année
Pour les visages de singe
Un masque de singe.
Matsuo Bashō (1644-1694)
Hors crises pandémiques, l'isolement national volontaire peut bénéficier à un peuple. Prenons le Japon : isolé de l'Occident durant la période Edo (1603-1867), il a connu des évolutions économiques, philosophiques et culturelles uniques. L'identité japonaise moderne, avec geishas, haïkus et surtout sangakus, y a pris racine.
Ces tablettes de bois coloré, offertes aux dieux dans les sanctuaires shinto ou temples bouddhistes à l'époque Edo, illustrent des propriétés géométriques inventées sur triangles, carrés, ellipses et cercles, souvent sans texte. Visibles par tous, elles allient esthétique et complexité, comme un défi artistique mystique entre créateur, géométrie divine et spectateur.
Grâce au mathématicien japonais Hidetoshi Fukagawa, de nombreux sangakus sont connus. Voir : H. Fukagawa, D. Pedoe, Problèmes de géométrie des temples japonais (1989) ; H. Fukagawa, A. Rothman, Mathématiques sacrées : géométrie des temples japonais (2008).
Exemple : ce sangaku à cinq cercles.
Comment emballer cinq disques identiques dans un carré ? Un étudiant en géométrie calcule que le rayon R des cercles et le côté Z du carré satisfont :
Selon le contexte culturel, la solution n'est pas toujours numérique. Les Grecs utilisaient règle et compas ; au Japon Edo, l'origami. Testez : placez un sous-bock rond dans le coin d'une nappe carrée, pliez un côté jusqu'à toucher le cercle ; la saillie x vaut le rayon.
Beaucoup de sangakus traitent des problèmes d'empilement : ranger des objets sans chevauchement. Exemple : 19 cercles dans un triangle équilatéral, par Farkas Bolyai, pour un calendrier de plantation optimal.
Zsófia Ruttkay s'inspire de la nature, comme l'expansion des nénuphars.
Au XXe siècle, l'empilement devient une discipline mathématique dédiée à maximiser la densité (minimiser le vide). Applications : bouteilles de vin, découpe de bières rondes d'une feuille, constellations pour modulation QAM, ou placement optimal de sièges en salle (distance minimale garantie).
Maîtriser cinq cercles dans un carré aide à placer cinq personnes maximisant la distance minimale.
(Excusez la modélisation des humains par points infinitésimaux.)
Les optima varient par N ; pour 20 cercles, disposition hexagonale (chaque cercle touche six voisins en plan infini). Par le théorème de Thue (1890), densité maximale π/√12 ≈ 90,69 %.
Les abeilles réalisent cela naturellement pour leurs alvéoles.
Aucune formule universelle ; solutions ad hoc, computationnelles. Erik Demaine et Robert Lang (mathématiciens de l'origami) prouvent l'absence d'algorithme efficace pour emballer cercles dans rectangle, utile pour patrons de pliage.
Pour un espace 10x10 m : 59 sièges (diam. 1,5 m), 43 (1,8 m, réaliste), ou 36 en grille carrée (2 m).
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