Le mathématicien Jean Bourgain a remporté le prestigieux Breakthrough Prize. C'est une autre récompense pour son travail.
Le Breakthrough Prize est un prix Nobel alternatif créé par le fondateur de Google Sergey Brin et le fondateur de Facebook Mark Zuckerbergin, entre autres, pour récompenser des réalisations scientifiques exceptionnelles. Jean Bourgain a remporté le prix pour ses travaux révolutionnaires sur la théorie des nombres et les équations aux dérivées partielles.
Qui est Jean Bourgain ?
Jean Bourgain est né en 1954 à Ostende, fils de Marguerite Reuse et de Réné Bourgain, tous deux médecins renommés. Le jeune Jean Bourgain a commencé à parler sur le tard, et il s'épanouira également tardivement dans l'enseignement primaire à l'école Albert d'Ostende. Mais à l'athénée d'Ostende, il fut « découvert » par le professeur Emile van Outryve, qui lui révéla l'univers mathématique à l'âge de quinze ans. Après ses études secondaires à Ostende, il obtient rapidement un doctorat en mathématiques à la VUB au jeune âge de 23 ans. Il a terminé sa thèse en un an environ.
Son premier prix international, le Prix Salem, suivit en 1983, et en 1985 il reçut l'un des prix scientifiques les plus élevés de Belgique, le Prix Damry-Deleeuw-Bourlart. Après cela, il a remporté à peu près tous les autres grands prix mathématiques. Il s'agit notamment du prix Langevin (1985) de l'Académie des sciences française, du très prestigieux prix Cartan (1990, du nom de l'un des mathématiciens les plus importants du siècle dernier, Elie Cartan), du très apprécié prix Ostrowski (Suisse, 1991). , la "Médaille Fields" (1994), le Prix Shaw (2010) et le "Prix Crafoord" (2012).
En 1981, il devient professeur à l'Université libre de Bruxelles, où il prend beaucoup de plaisir à travailler. Après avoir passé plus de treize ans à la VUB en tant qu'étudiant, chercheur et professeur, il quitte l'université mère en 1985. Il est allé à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) à Bures-sur-Yvette (France), et après un certain temps, un poste simultané à l'Université de l'Illinois (USA) a été ajouté. Il a passé une partie de 1988 à l'Université hébraïque de Jérusalem, et 1991 à Caltech aux États-Unis, en tant que Fairchild Distinguished Professor, tout en trouvant encore du temps pour la symbiose scientifique (sic !) à Bonn, Varsovie, Berkeley, Zurich et Leningrad, aujourd'hui Saint-Pétersbourg.
Enfin, depuis 1994, avant même que la médaille Fields n'accroisse son prestige, il s'installe à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Albert Einstein était l'un des fondateurs de l'institution de recherche et ce n'est donc pas un hasard si l'adresse actuelle de Bourgain se trouve sur « Einstein Drive ». Bourgain détermine son propre salaire, à sa discrétion. Il n'enseigne aucune « leçon traditionnelle », seulement des « explications », et pour cela, il parcourt le monde pendant environ la moitié de l'année.
En 2002, il a été promu chef du département de l'héritage mathématique d'Einstein. C'est arrivé à son grand désarroi, car il avait ainsi moins de temps pour ses mathématiques préférées malgré deux secrétaires. Le département compte neuf mathématiciens de haut niveau sous son toit, dont un belge, le francophone Pierre Deligne. A Princeton, la plaisanterie dit que Bourgain fait aussi des maths dans son sommeil, et Deligne quand il lit le journal – et quand ils échangent des idées, c'est sur les maths, en anglais. D'autres Belges encore, Elias Stein déjà cité ou encore Ingrid Daubechies, travaillent à l'Université de Princeton, au Département de Mathématiques, où il y a un véritable 'enseignement'.
Les maths ne sont pas amusantes
Si la vie et la carrière de Jean Bourgain sont un plaisir à décrire, son travail mathématique est une autre affaire. Bourgain lui-même pense qu'il est faux de présenter l'activité scientifique comme une «fête» ou un «amusement», et pense que les mathématiques sont un «travail acharné». Il désapprouve même de dire aux jeunes que les résultats mathématiques découlent d'un jeu libre et joyeux avec des formules, et il a peut-être raison, car un grand nombre de jeunes abandonnent leur intérêt pour les sciences à un âge plus avancé. Dans les campagnes visant à intéresser les jeunes au sport mathématique, la volonté de s'entraîner dur doit donc être clairement affirmée, estime-t-il.
Le choix de Bourgain du type de travail acharné qu'il effectuerait était un peu une coïncidence. Sa toute première présentation, dans sa première licence, l'a mis en contact avec le Polonais Aleksander Pelczynski, qui était présent parmi le public. Le sujet concernait les espaces de Banach, du nom du mathématicien polonais Stefan Banach. Dans les années 1920, il s'agissait d'un domaine d'étude intense, à tel point qu'on parlait d'une "école polonaise", mais après la Seconde Guerre mondiale, les héritiers mathématiques se sont révélés incapables de résoudre un certain nombre de problèmes non résolus.
La « Révolution française » de Laurent Schwartz et de l'apatride Alexander Grothendieck, son « élève » et pour beaucoup le plus grand esprit abstrait du siècle dernier, a changé la donne. De nouveaux résultats sensationnels suivirent, comme celui de Per Enflo en 1973, et parmi toute cette violence il y eut aussi Jean Bourgain. Au cours de la dernière décennie, l'importance de la théorie des espaces de Banach s'est accrue, en partie grâce à des applications en informatique telles que la "compression de données", dans laquelle une tentative est faite pour stocker des données de manière efficace.
Dans les années 1980, Bourgain a obtenu un résultat très fructueux en montrant comment cela peut être réalisé dans des espaces euclidiens "ordinaires" avec des dimensions étonnamment petites. Nous expérimentons la surface plane habituelle de la feuille de papier comme un espace de dimension deux, et l'espace physique qui nous entoure nous imaginons avec la dimension trois, mais les mathématiciens vont plus loin et utilisent les dimensions 4, 5, ... à l'infini. La généralisation à plus de dimensions n'est pas facile, car la géométrie dans l'espace tridimensionnel peut être très trompeuse lorsqu'elle est étendue à une dimension supérieure.
D'une part, d'étranges phénomènes pathologiques se produisent, mais d'autre part, des structures inattendues deviennent parfois visibles. Par exemple, le mathématicien portugais Luis Santalo a pu construire une inégalité remarquable comparant certains volumes à ceux d'une sphère ou d'une sphère ordinaire. Cela s'est produit il y a soixante ans, mais alors que Kurt Mahler soupçonnait déjà l'existence d'une inégalité inverse, ce n'est qu'au milieu des années 1980 que Vitali Milman et Bourgain ont pu prouver l'hypothèse. Il a des applications en théorie des nombres (motivation originale de Mahler), mais étonnamment aussi en informatique théorique.
Théorie de l'ergodicité
Puis Bourgain a approfondi la théorie de l'ergodicité avec dynamisme. Nous essayons d'expliquer de quoi il s'agit. Eh bien, une "mesure" est une façon d'attribuer des poids à différentes zones de l'espace. Des exemples sont le volume dans l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire ou la probabilité avec laquelle quelque chose peut se produire dans «l'espace des événements», et dans ce cas, la plus grande mesure d'un ensemble est 1, à savoir la probabilité de l'événement certain.
Or un système "dynamique" décrit le changement de bits d'espace, comme lorsqu'un changement est imposé à plusieurs reprises à un point, et le résultat est alors sa trajectoire ou la trajectoire du point. Certains systèmes dynamiques maintiennent la mesure, en ce sens que l'image d'un ensemble à travers une image a toujours la même mesure que dans l'espace d'origine et il se peut que certains ensembles ne changent même pas (soient 'invariants') et coïncident avec leur image .
De tels systèmes sont dits « conservateurs ». Un exemple important est donné par les équations de Kepler qui, en mécanique céleste, décrivent le mouvement des planètes, des comètes ou d'autres corps de notre système solaire. À ce jour, les propriétés dynamiques de ce mouvement ne sont pas bien comprises. Depuis les travaux du mathématicien français Henri Poincaré à la fin du XIXe siècle, on sait que les équations de Kepler ne peuvent pas être résolues exactement, sauf, bien sûr, lorsqu'on étudie une interaction entre deux corps seulement. Eh bien, la théorie ergodique veut offrir une alternative pour permettre de faire des prédictions, même si elles ne sont souvent que de nature qualitative.
Par exemple, les travaux d'Andrey Nikolaevich Kolmogorov, l'un des mathématiciens les plus importants du XXe siècle, ont expliqué pourquoi certains mouvements célestes doivent être périodiques, démontrant l'hypothèse audacieuse que l'école française du XVIIIe siècle avec Joseph -Louis Lagrange et Pierre- Simon Laplace. D'autre part, nous comprenons désormais mieux pourquoi un système est stable ou non, et comment un comportement chaotique se produit.
Par exemple, pour notre système planétaire, nous savons maintenant, grâce à des calculs numériques précis avec de puissants ordinateurs des équations de Kepler, sur des périodes de temps extrêmement longues, que la ceinture extérieure avec Jupiter, Saturne, Uranus et Neptune est très stable. La ceinture intérieure, qui contient Vénus, Mars et Mercure en plus de notre Terre, est très instable. Plus particulièrement, cela s'applique à la dernière planète intérieure, qui pourrait « s'échapper » du système solaire dans un avenir prévisible.
La source de cette situation instable est deux interactions, une entre la Terre et Mars, et une entre Vénus et Mercure et Jupiter. Une grande partie du travail de Bourgain porte précisément sur la compréhension des systèmes dynamiques avec de telles « résonances ». Un autre exemple de système conservatif, décrit dans une section précédente, est les équations de Schrödinger, connues de la mécanique quantique, et avec des applications courantes, telles que les lasers. Ici, un espace de dimension infinie est nécessaire pour décrire les phénomènes, mais Bourgain a pu montrer au milieu des années 1990 que la « mesure invariante » appropriée, pour reprendre le terme utilisé ci-dessus, était déjà connue en physique, sous le nom de « compagnon de Gibbs'.
Croissance démographique
À l'avenir, les opérateurs de Schrödinger et leurs applications régiront la vie de Bourgain (et vice versa). Il vient d'écrire un livre prestigieux sur le sujet dans la série Annals of Mathematics Studies de Princeton University Press. Les deux seules phrases qui peuvent être lues à haute voix constituent l'intégralité de la reconnaissance, mais les célèbres théories de Schrödinger ont des applications depuis les plus petits atomes jusqu'aux étoiles géantes les plus lointaines.
Cependant, cela n'empêchera pas Bourgain d'obtenir des résultats intéressants dans d'autres domaines, parfois pour le divertissement, s'il attire son attention, comme cela s'est produit jadis avec son charmant résultat sur les séries arithmétiques. Tout le monde connaît la loi de Malthus, qui a le premier décrit les conséquences dramatiques de la croissance démographique en affirmant qu'un approvisionnement alimentaire croît selon une suite arithmétique, mais que la population croît selon une suite géométrique. Les nombres 3, 5, 7, ... forment une suite arithmétique, mais 3, 6, 12, ... une géométrique. Soit dit en passant, le premier donne une suite de longueur 3 de nombres premiers (9 n'est bien sûr pas un nombre premier car il est divisible par 3), et on peut se demander s'il existe des suites arithmétiques plus longues de nombres premiers. Plus généralement, la question est de savoir si des suites arithmétiques (avec ou sans nombres premiers) d'une certaine longueur existent dans des groupes arbitraires de nombres.
Cette question semble si générale qu'une réponse sensée semble inconcevable. Néanmoins, Jean Bourgain a pu montrer en 1990 que des sommes de nombres d'ensembles arbitraires C et D avec des nombres de 1, 2, 3 ... jusqu'à un nombre N, doivent toujours avoir une suite arithmétique de longueur eb 3√log N , où le nombre b ne dépend que de la proximité des nombres en C et D l'un par rapport à l'autre. Le 'log' et e =2.71828... font référence aux logarithmes naturels, et ces derniers symboles apparaissent sous forme de boutons séparés sur chaque calculatrice qui se respecte (log x =y signifie ey=x). Ian Levitt a fait valoir que "le résultat est intéressant, et plus encore la preuve de celui-ci, mais les six pages de précision mathématique de Bourgain sont impénétrables à ma déduction". Il en donna donc une autre preuve le jour où Bourgain lui-même augmenta la population, à savoir le 28 février, jour de son anniversaire.
Cette biographie a déjà été publiée dans le magazine Eos, numéro 3 (2006)
