Le terme « infinitésimal » est un terme coûteux pour « presque rien », mais il a beaucoup signifié pour les mathématiques.
Les mathématiques produisent non seulement des casse-tête, mais aussi des virelangues. Prenez le mot "infinitésimal", qui signifie infiniment petit. C'est un terme coûteux pour "presque rien". Ce concept m'est très cher, car il occupe une place centrale dans mes recherches. De plus, le mot a été inventé par mon érudit préféré de tous les temps :le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Leibniz.
Si vous divisez un par mille, vous obtenez un millième. La terminaison -ste indique en néerlandais que vous prenez la fraction radicale. En latin médiéval, vous utilisez la terminaison -esimalis † Par exemple, notre mot "décimal" vient du mot latin pour "dixième" (decimalis † Leibniz a attaché cette terminaison au mot latin pour infini (infinitus ) et obtenu :infinitésimal † Ce mot a été adopté dans plusieurs langues, avec une terminaison légèrement modifiée. En néerlandais, il est devenu infinitésimal. Un infinitésimal est donc littéralement "un infinitésimal".
Leibniz a vécu de 1646 à 1716. Comme son contemporain Isaac Newton, il a travaillé sur une théorie mathématique que nous enseignons encore et appliquons pleinement dans les sciences naturelles et de l'ingénierie. Bien que Leibniz ait été le premier à publier son travail, Newton ne croyait pas avoir trouvé ses résultats tout seul. Newton a accusé Leibniz d'avoir copié à partir de son travail non publié.
Le différend prioritaire portait sur le calcul infinitésimal, que nous appelons maintenant calcul différentiel et intégral. Vous pouvez utiliser une intégrale pour calculer l'aire sous une courbe. Le calcul de l'aire d'un rectangle est simple (longueur fois largeur), mais comment fait-on cela pour une courbe ? L'idée est que si vous "zoomez" assez fort sur une courbe, elle sera droite localement (sur un morceau infinitésimal). En ajoutant l'aire d'un nombre infini de bandes étroites, vous pouvez calculer l'aire sous une courbe. Nous appelons cette somme infinie l'intégrale.
L'infiniment petit de Leibniz et Newton était génial, même s'ils n'ont pas eux-mêmes réussi à introduire rigoureusement le concept dans les mathématiques
Idée géniale, mais il y a un hic. Bien que leurs idées intuitives aient été mathématiquement très fructueuses, Leibniz et Newton n'ont pas réussi à introduire rigoureusement le concept d'infinitésimal lui-même dans les mathématiques. Plus tard, Karl Weierstrass a changé d'avis à ce sujet :il a élaboré une définition stricte du concept de limite. Sa définition est basée sur le fait que pour chaque nombre réel positif, vous pouvez trouver un nombre réel positif plus petit. De cette façon, il a évité le besoin de nombres infiniment petits.
Il a fallu attendre les années 1960 pour que quelqu'un parvienne à introduire le concept d'infinitésimal au sens originel de Leibniz d'une manière mathématiquement rigoureuse. C'était le mathématicien Abraham Robinson. Sa théorie s'appelle l'analyse non standard :elle ajoute des nombres infiniment petits et infiniment grands aux nombres réels ordinaires et donne des règles pour calculer avec ces nombres. L'œuvre originale de Robinson est très complexe. Heureusement, d'autres mathématiciens l'ont traduit dans des cours essentiellement ouverts aux lycéens. En Italie, ils ont déjà réalisé des projets pilotes avec cela dans les écoles.
Pour les physiciens, l'analyse non standard offre une approche très naturelle. Ils sont habitués à penser en termes d'infinitésimaux. Jusqu'à ce que Robinson développe sa théorie, cette méthode était à proprement parler erronée. Curieusement, les « mauvaises » méthodes des premiers mathématiciens et des derniers physiciens ont conduit à des résultats corrects. Nous comprenons maintenant comment cela est possible :les méthodes suivent les règles de l'analyse non standard, une théorie qui est mathématiquement tout aussi correcte que le calcul différentiel et intégral standard, mais qui a été développée beaucoup plus tard.
Cette histoire soulève la question de savoir si nos mathématiques auraient pu être différentes. D'une part, nous voyons que Newton et Leibniz ont développé leur version du calcul infinitésimal à peu près au même moment. Cela suggère que les mathématiques d'aujourd'hui y seraient arrivées de toute façon. D'autre part, nous voyons que les mathématiciens rejettent parfois des concepts ou des intuitions parce qu'ils croient à tort qu'il n'y a pas de bonne définition pour eux. Cela, à son tour, suggère que les mathématiques que nous connaissons aujourd'hui ne représentent qu'une infime fraction de toutes les possibilités alternatives - peut-être juste une infinitésimale.
