Vous l'avez peut-être entendu lors d'une récente réception du Nouvel An, peut-être de la part d'un collègue un peu bavard après quelques verres : « 2017 est un nombre pizza ! »
L'année dernière, le même collègue vous avait peut-être annoncé que 2016 était un nombre triangulaire, après un champagne trop rosé. Espérons que vous n'avez pas répliqué : « Un nombre triangulaire est toujours suivi d'un nombre pizza », au risque de couper court aux conversations festives pour les dix prochaines années. La bonne réponse ? Demander simplement : « C'est quoi, un nombre pizza ? »
Contrairement aux nombres triangulaires, qui comptent les sphères dans une pile triangulaire, les nombres pizza sont bien plus appétissants. Voici les six premiers nombres triangulaires :
Une pile triangulaire de 63 rangées contient exactement 2016 sphères. La formule du Nème nombre triangulaire TN est TN = N(N+1)/2, démontrée visuellement ci-dessous :
De plus, la relation récurrente TN = TN-1 + N est pratique : ajoutez simplement N sphères à la base. Ainsi, après 2016 (pour N=63), le prochain est 2080 (2016 + 64).
Les nombres pizza PN indiquent le nombre maximum de morceaux obtenus en coupant une pizza avec N coupes droites. Clair pour P1 = 2 et P2 = 4. Avec trois coupes, on obtient généralement 6 morceaux égaux, mais le maximum est 7 (morceaux inégaux) : P3 = 7.
Voici les six premiers nombres pizza, avec P0 = 1 (pizza entière) :
En vulgarisation mathématique, cette séquence est appelée la « séquence du traiteur paresseux » : elle maximise les morceaux par coupe minimale. La stratégie ? Chaque nouvelle coupe croise toutes les précédentes sans que trois coupes ne se rencontrent au même point. Pour la 4e coupe, elle croise les trois autres, ajoutant 4 morceaux : P4 = P3 + 4 = 11.
La formule récurrente est PN = PN-1 + N.
Étonnant ! C'est la même que pour les triangulaires, mais décalée : PN = TN+1 = N(N+1)/2 + 1. Donc P63 = T64 = 2017. Prochain nombre pizza en 2081 ! (Et 2017 est premier, détail amusant.)
Les maths des pizzas inspirent : des chercheurs de l'Université de Liverpool ont trouvé une méthode pour des parts égales... peu pratique pour un traiteur !
Et le célèbre théorème de la pizza : en coupant une pizza en n parts égales (angles de 360°/n) depuis un point fixe (pas forcément le centre), si n ≥ 8 et multiple de 4, deux personnes alternant les parts adjacentes mangent des surfaces égales à la fin.
Exemple avec 8 parts (jaune = violet) ou 12 (vert = orange).
Énoncé en 1968 dans Mathematics Magazine (Goldberg), prouvé graphiquement par Carter et Wagon (1994) pour 8 parts :
Frederickson l'a généralisé en 2012 pour 12, 16... dans « La preuve est dans la pizza ». Valable aussi pour 3 gourmands avec 12 parts !
