Grâce au travail d'un mathématicien de 37 ans, Michaël Rao de l'École Normale Supérieure de Lyon, nous connaissons depuis l'été 2017 la liste complète des pentagones convexes capables de paver le plan sans interstices ni chevauchements, en utilisant une seule forme de tuile. Cela clôt le chapitre des polygones convexes pour les pavages monoédriques.
L'été 2017 a marqué une avancée majeure pour les géomètres, décorateurs et amateurs de motifs. Michaël Rao a démontré, avec l'aide de calculs informatiques exhaustifs, la réponse à une question remontant à la Grèce antique : quels polygones convexes peuvent paver parfaitement le plan avec une seule tuile (prototile) ?
Quels polygones convexes forment une tuile recouvrant le plan sans espaces ni chevauchements, hormis aux sommets ou côtés entiers ?
Il n'existe que 15 pentagones convexes pour un tel pavage monoédrique. Voici la liste complète :
Ce résultat porte sur les pavages monoédriques, limités à une seule forme de prototile convexe. Les pentagones convexes ont toutes leurs diagonales à l'intérieur du polygone.
Pour un polygone régulier, les Grecs anciens savaient qu'il n'y a que trois options : l'équilatéral triangulaire, le carré et l'hexagone régulier.
La liste des 15 pentagones n'inclut pas de régulier, car cela est impossible. Tout triangle ou quadrilatère (même non convexe) pave le plan monoédriquement. Pour les hexagones convexes, Karl Reinhardt en a identifié trois en 1918, dont le régulier. Parmi les pentagones, Reinhardt en décrivit les cinq premiers ; la liste s'enrichit progressivement, jusqu'au 15e découvert par Casey Mann en 2015. Rao a prouvé en 2017 qu'il n'y en a pas d'autres, bien que non encore publié formellement, son résultat est largement vérifié.
Il est établi qu'un polygone convexe pavant monoédriquement a au plus six côtés. Grâce à Rao, nous connaissons désormais tous les polygones convexes possibles.
Cette avancée n'épuise pas le sujet : les tuiles non convexes restent à explorer. Les polygones sont privilégiés en analyse mathématique, mais des artistes comme M.C. Escher montrent des formes complexes monoédriques :
Les pavages multi-prototypes enrichissent le domaine, comme dans les motifs arabes de l'Alhambra :
Johannes Kepler (1571-1630) fut pionnier dans l'étude systématique des pavages multi-prototypes :
En 1987, Grünbaum et Shephard publièrent un ouvrage de référence, établissant les pavages comme sous-discipline mathématique.
Les poseurs privilégient les pavages périodiques, où le motif se répète translationnellement. Cela est évident dans les pavages réguliers grecs, chez Kepler ou Escher. Les directions de répétition ne sont pas forcément perpendiculaires :
Ces motifs apériodiques sont possibles mais rares en pratique. Longtemps, on crut tout ensemble fini de prototiles admis un pavage périodique. Robert Berger montra en 1966 un contre-exemple à 20 426 tuiles, réduit ensuite ; Roger Penrose en 1973 n'en usa que deux (losange et parallélogramme), forçant l'apériodisme.
En 1984, ce motif Penrose fut observé dans un quasi-cristal :
Le Graal actuel est le prototile unique apériodique (« einstein »), forçant l'apériodisme. Non prouvé, mais espéré. Socolar et Taylor en trouvèrent un en 2010, mais composite :
Le résultat de Rao exclut les convexes pour cet « einstein ». Les chercheurs se tournent désormais vers les concaves.
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