Le terme « infinitésimal » est un mot savant pour désigner « presque rien », mais il a révolutionné les mathématiques.
Les mathématiques ne se limitent pas aux casse-tête : elles produisent aussi des virelangues fascinants. Prenez « infinitésimal », qui signifie infiniment petit. C'est un terme précieux pour « presque rien ». Ce concept m'est cher, car il est au cœur de mes recherches. De plus, ce mot a été inventé par mon érudit préféré : le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Leibniz.
Divisez 1 par 1 000, vous obtenez un millième. En latin médiéval, la terminaison esimalis indique une fraction décimale. Par exemple, « décimal » vient de decimalis, dérivé de « dixième ». Leibniz a accolé cette terminaison à infinitus (infini), créant infinitésimal. Ce mot a été adopté dans plusieurs langues, légèrement adapté. En néerlandais, il devient « infinitésimaal ». Littéralement, un infinitésimal est donc « un infini-décimal ».
Leibniz (1646-1716), comme son contemporain Isaac Newton, a développé une théorie mathématique essentielle en sciences naturelles et ingénierie : le calcul. Bien que premier à publier, Leibniz fut accusé par Newton d'avoir copié ses travaux inédits, déclenchant une fameuse controverse.
Cette dispute portait sur le calcul infinitésimal, aujourd'hui appelé calcul différentiel et intégral. Pour calculer l'aire sous une courbe – impossible directement comme pour un rectangle (longueur × largeur) –, on "zoome" sur des segments infinitésimaux où la courbe paraît droite. En sommant un nombre infini de telles bandes étroites, on obtient l'intégrale.
L'infiniment petit de Leibniz et Newton était génial, même s'ils n'ont pas rigoureusement introduit le concept en mathématiques.
Idée brillante, mais intuitive. Leibniz et Newton n'ont pas formalisé rigoureusement les infinitésimaux. C'est Karl Weierstrass, plus tard, qui a défini la limite : pour tout réel positif ε, il existe un réel positif δ < ε. Ainsi, pas besoin d'infinitésimaux explicites.
Il fallut attendre les années 1960 pour qu'Abraham Robinson rende rigoureux le concept originel de Leibniz avec l'analyse non standard. Elle étend les réels aux infinitésimaux et infiniment grands, avec des règles de calcul. Bien que complexe à l'origine, elle est désormais accessible aux lycéens via des adaptations, testées en Italie.
Pour les physiciens, habitués aux infinitésimaux, cette approche est naturelle. Avant Robinson, elle était intuitive mais non rigoureuse ; pourtant, elle donnait des résultats corrects, conformes aux règles de l'analyse non standard – aussi valide que le calcul standard, mais postérieure.
Cette histoire interroge : nos mathématiques auraient-elles pu différer ? Newton et Leibniz ont inventé le calcul quasi simultanément, suggérant une convergence inévitable. Pourtant, des intuitions rejetées pour manque de rigueur (comme les infinitésimaux) montrent que nos maths ne sont qu'une fraction – peut-être infinitésimale – des possibles.
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