Le Tour de France 2019 offre une occasion idéale pour explorer les mathématiques. Contribution invitée de Stijn Dierckx.
Début juillet, impossible de passer à côté : le 106e Tour de France s'est élancé de Bruxelles pour le Grand Départ, 50 ans après la première victoire d'Eddy Merckx. La première étape a formé une boucle reliant Bruxelles au Muur van Geraardsbergen via Charleroi. À première vue, rien d'étonnant. Pourtant, le commentateur Karl Vannieuwkerke l'a relevé dans Vive le Vélo : « Sur la carte, cette étape dessine les contours de la Belgique. Coïncidence ou clin d'œil du parcours ? » La ressemblance est frappante. Jugez-en :
Les coureurs n'y ont sans doute guère prêté attention, mais les mathématiciens, si. Ce tracé évoque le théorème du point fixe de Brouwer, pilier des mathématiques, de la physique, de la logique, de la biologie et de l'économie. Il a valu des Nobel : à Kenneth Arrow et Gérard Debreu en 1983 pour les équilibres de marché, et à John Nash (de A Beautiful Mind) pour ses équilibres éponymes.
Théorème du point fixe de Brouwer (forme simple) : Une fonction continue d'un sous-ensemble convexe et compact d'un espace euclidien vers lui-même admet au moins un point fixe.
Pour les non-spécialistes, considérons le cas basique : une fonction continue f de [0,1] vers [0,1]. Visualisez-la comme une courbe continue dans un carré. Exemples :
Tracez une ligne lisse du bas-gauche au haut-droit (rouge) ou haut-gauche au bas-droit (bleu), sans interruption. Le théorème garantit un point fixe : un point où la distance au bord gauche égale celle au bord bas (ligne verte). Les courbes bleue et rouge la croisent forcément.
La bleue en a un, la rouge trois ! Le nom « point fixe » vient de l'idée que la « hauteur » reste inchangée :
Exemple concret : montez une montagne de 10h à 18h, redescendez le lendemain aux mêmes heures. Il existe un instant t où votre altitude est identique les deux jours. Les courbes se croisent !
En 2D : tournez un disque d'un quart de tour ; le centre reste fixe.
Applications : Impossible de mélanger parfaitement café et lait – une particule revient à sa place initiale (tasse convexe, mouvement continu). Sur une carte posée au sol, un point « Vous êtes ici » coïncide exactement avec votre position réelle. Et pour le Tour : un point du parcours matche un lieu en Belgique.
Le théorème lie aussi à la théorie des jeux : dans Hex (inventé par Nash et Piet Hein), pas de match nul.
Sur un plateau 11x11 hexagonal, reliez vos bords par une chaîne de pierres. Exemple gagné par le bleu :
Complexité immense (2,4 × 1056 positions, plus qu'aux échecs). Preuve de gagnant : sur plateau plein, tracez un chemin vert entre couleurs opposées.
Il descend d'abord :
Puis serpente :
Il finit dans un coin opposé, déterminant le vainqueur (Gale, 1979). Rouge gagne si coin bas-gauche, etc.
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