L'étudiant moyen se souvient d'Archimède comme de l'homme nu criant Eurêka ! en sortant de son bain, plutôt que comme un génie des mathématiques. Pourtant, deux siècles après sa mort en 212 av. J.-C., Cicéron découvrit sa tombe à Syracuse, ornée d'un relief d'une sphère inscrite dans un cylindre. Archimède en était particulièrement fier : cette formule pour le volume de la sphère, obtenue en comparant sphère, cône et cylindre, représentait son chef-d'œuvre.
La dernière saison de Game of Thrones (an 304 dans l'univers fictif) a vu le dragon de Daenerys Targaryen abattu par un Scorpion, une arbalète géante. Cet engin mécanique évoque les inventions d'Archimède, né à Syracuse en 287 av. J.-C. et assassiné lors du siège romain. Selon Tite-Live, ses derniers mots furent : « Ne dérangez pas mes cercles ! »
Marcus Marcellus avait ordonné de le capturer vivant. Archimède était une légende pour ses inventions : pompe à vis, catapultes, griffes, miroirs solaires. Ces armes permirent à Syracuse de résister deux ans. Il excella aussi en statique (règle du levier) et hydrostatique (poussée d'Archimède), prouvant la pureté de la couronne royale par immersion.
Ses avancées mathématiques, comme l'approximation de $\pi$ ou l'aire des paraboles via des méthodes pré-intégrales, ne furent reconnues que des siècles plus tard. Cicéron confirma la tombe, symbole de sa fierté pour la sphère.
Mon association entre le Scorpion et Archimède m'est venue lors d'un voyage à Syracuse. J'ai visité TechnoParco, un parc thématique dédié à ses inventions, et admiré une réplique de sa tombe.
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Sa méthode combine la règle du levier et la méthode d'épuisement, précurseur du calcul intégral, attribuée à Démocrite mais perfectionnée par Archimède. Redécouverte au XXe siècle par Johan Ludvig Heiberg sur un palimpseste.
Principe du levier : un éléphant (100 000 fois plus lourd qu'une souris) s'équilibre si la souris est 100 000 fois plus loin du point d'appui. Pour objets homogènes : $V_1 \times d_1 = V_2 \times d_2$.
Considérons un cylindre (rayon $2r$, hauteur $2r$), un cône inscrit et une sphère (diamètre $2r$). Placez le cylindre sur une bascule avec appui en $A$. Coupez en tranches infiniment minces perpendiculaires à l'axe.
À distance $x$ de $A$ :
Chaque tranche cylindrique s'équilibre avec les tranches conique et sphérique placées à $H$ (distance $2r$ de $A$) :
$$\frac{4 r^2}{x^2 + (2rx - x^2)} = \frac{4 r^2}{2rx} = \frac{2r}{x} = \frac{d_2}{d_1}$$
Équilibre local implique équilibre global : vol(sphère) + vol(cône) à $2r$ équilibre vol(cylindre) à $r$. Ainsi, vol(sphère) = $\frac{1}{2}$ (vol(cylindre) - 2 vol(cône)). Avec vol(cône) = $\frac{1}{3}$ vol(cylindre), vol(sphère) = $\frac{4}{3} \pi r^3$.
Cette prouesse, sans intégrales modernes, lie sphère, cône et cylindre de manière élégante.
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