Les nombres de Catalan sont mondialement connus : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670... Ils surgissent dans une multitude de problèmes mathématiques variés.
Exemple : de combien de manières placer n paires de parenthèses (c'est-à-dire (...)) dans un produit de n+1 facteurs ? Traditionnellement en mathématiques, les parenthèses sont placées de façon économique : un seul facteur n'est jamais entre parenthèses, mais tous les facteurs ensemble le sont.
Pour n=2 (3 facteurs) : $$((ab)c), (a(bc))$$. Seulement deux façons, le troisième nombre de la suite.
Pour n=3 (4 facteurs) : $$$(((ab)c)d), ((a(bc))d), (a((bc)d)), (a(b(cd))), ((ab)(cd))$$$. Cinq possibilités.
Autre exemple : assis à une table ronde avec 2n personnes, de combien de façons la moitié peut-elle serrer la main à quelqu'un d'autre (éventuellement en face) sans croisement ?
Les mêmes nombres réapparaissent.
Combien de façons empiler des pièces (comme des oranges en 2D) en commençant par n pièces en bas ? Pour n=3, il y en a 5.
De même, le nombre de triangulations d'un polygone régulier à n côtés est donné par ces nombres : 1 pour le triangle, 2 pour le carré, 5 pour le pentagone, etc.
(Plus sur le lien entre triangulations et motifs de frise ici, sur un site expert pour mathématiciens, lié au projet Imaginary et une expo récente en Flandre.)
Cette suite porte le nom d'Eugène Charles Catalan (1814-1894), mathématicien français né à Bruges, mort à Liège. Sans la conquête napoléonienne (Bruges français de 1795 à 1815), il aurait été belge ! Un génie local.
Dans l'Encyclopedia of Mathematics du CRC (3242 pages), on trouve : intégrales de Catalan, nombres de Catalan, polyèdres de Catalan (comme celui-ci) :
Conjecture de Catalan (prouvée en 2002 par Mihăilescu : 8 et 9 seules puissances consécutives), constante de Catalan :
$$G=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$$
Identité pour Fibonacci, aire minimale de Catalan :
Triangle de Catalan, trisectrice de Catalan. Un legs impressionnant.
La famille Catalan s'installe à Paris. Eugène fréquente l'École Royale Gratuite de Dessin et Mathématiques, y enseigne la géométrie dès 1829. À Polytechnique en 1833, ses idées républicaines lui valent une expulsion temporaire, mais il diplômé en 1836 et poursuit sa carrière. Professeur à Liège, il déclare en 1881 à sa retraite :
Deux passions, Messieurs, ont surtout rempli ma vie : la Politique militante et la Mathématique [...]. Non une Dissertation sur les délices des Mathématiques, mais quelques réflexions sur le travail intellectuel.
Pour approfondir les nombres de Catalan, visionnez cette vidéo.
Revenons aux nombres parfaits et à la conjecture aliquote de Catalan, toujours ouverte.
Les suites aliquotes : le premier nombre détermine la suite.
1 → 0.
2 → 1 → 0.
3 → 1 → 0.
4 → 3 → 1 → 0.
5 → 1 → 0.
6 → 6 → ... (parfait).
8 → 7 → 1 → 0.
...
12 → 16 → 15 → 9 → 4 → 3 → 1 → 0.
...
25 → 6 → 6...
28 → 28... (parfait).
...
220 → 284 → 220... (amis).
...
1264460 → 1547860 → ... → 1264460... (sociables).
Construction : somme des diviseurs propres (hors le nombre lui-même). Ex. 12 : 1+2+3+4+6=16 ; 16:1+2+4+8=15, etc.
Observations :
Conjecture aliquote de Catalan (corrigée par Dickson) : toutes les suites deviennent constantes ou périodiques ; pas de suite infinie non périodique croissante. Cinq cas ouverts sous 1000 (Lehmer : 276, 552, 564, 660, 966).
Deux formules élégantes de Catalan pour π et e :
$$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}=\frac{4\cdot4}{3\cdot5}\cdot\frac{8\cdot8}{7\cdot9}\cdot\frac{12\cdot12}{11\cdot13}\cdot\frac{16\cdot16}{15\cdot17}\cdot\ldots$$
$$e=\frac{2}{1}\left(\frac{4}{3}\right)^{1/2}\left(\frac{6\cdot8}{5\cdot7}\right)^{1/4}\left(\frac{10\cdot12\cdot14\cdot16}{9\cdot11\cdot13\cdot15}\right)^{1/8}\ldots$$
En 2065, blog sur la thèse de Napoléon !
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