Dans tout réseau suffisamment vaste, une structure émerge inévitablement. La mathématicienne Ann Dooms (VUB) explique la "théorie de Ramsey" à travers six profils Facebook choisis au hasard.
Les mathématiciens affectionnent les structures. Certains étudient des formes spécifiques, d'autres tissent des liens entre elles, tandis que d'autres encore en débusquent là où elles semblent absentes. L'œuvre de Frank P. Ramsey (1903-1930) relève de cette dernière catégorie. Bien qu'il n'en ait peut-être pas eu conscience, ses résultats ont fondé un nouveau domaine de recherche, qui passionne les mathématiciens depuis près d'un siècle.
Formé en mathématiques, Ramsey excellait dans de multiples disciplines : économie, philosophie... Au King's College de Cambridge, il collabora avec l'économiste renommé John Maynard Keynes et le philosophe Ludwig Wittgenstein. Ses publications ultérieures sont aujourd'hui reconnues comme des œuvres fondamentales et influentes.
Ces accomplissements éclipsent souvent un résultat accessoire dans un article sur la logique, pourtant remarquable : il donna naissance à la "théorie de Ramsey", ou la quête d'ordre dans le chaos.
Illustrons cela avec des réseaux sociaux comme Facebook. Prenez six personnes au hasard : elles formeront toujours soit un trio d'amis mutuels, soit un trio d'étrangers complets.
Les lignes vertes indiquent les amis, les rouges les étrangers. Chaque triangle comporte soit deux rouges et une verte, soit une rouge et deux vertes.
Dans cette sélection aléatoire de six profils, une structure apparaît : un groupe d'amis ou d'inconnus. Avec cinq personnes, cela n'est pas garanti. Le principe clé ? Dans un réseau assez grand, une structure émerge toujours, qu'il s'agisse d'amis, d'étrangers ou de configurations plus complexes.
La théorie a des implications profondes. Sur Facebook, on cherche naturellement des groupes plus grands. Combien de profils faut-il pour garantir un quartet d'amis ou d'inconnus ? Et pour toute taille n ? C'est ainsi qu'on définit le nombre de Ramsey R(n) : le minimum de profils assurant un groupe de n amis ou n inconnus.
Comme vu, R(3) = 6. Un peu d'effort montre que R(4) = 18. Dès n = 5, c'est plus ardu : la valeur exacte de R(5) reste inconnue. En 1997, on prouva R(5) ≤ 49 ; en 2017, ≤ 48. On sait aussi 43 ≤ R(5), et certains experts parient sur 43. À ce rythme, une preuve finale est attendue vers 2117.
'Si les extraterrestres demandent la valeur de R(6), nous devons les détruire' le mathématicien Paul Erdős
Le progrès scientifique s'accélère, et une solution pourrait survenir ce siècle. Peut-être un défi pour les supercalculateurs futurs ? Moins probable qu'il n'y paraît : vérifier R(5) ≤ 43 par force brute exige ~1035 cas, dépassant le nombre d'atomes dans l'univers.
Comme l'évoquait Paul Erdős, l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle selon un collègue : "Imaginez une civilisation extraterrestre avancée atterrissant sur Terre. Elle exige R(5) ou l'extermination. Nous mobiliserions tous nos ordinateurs et mathématiciens. Mais pour R(6), mieux vaut les détruire."
