Pas de supporters dans le stade, mais des millions de téléspectateurs chez eux devant le tube pour suivre la cérémonie d'ouverture des 32e Jeux olympiques de Tokyo. Comme toujours tout un spectacle, dans lequel les Japonais ont déballé cette fois avec, entre autres, un tour de force technique avec 1 824 drones. Mais la première demi-minute du spectacle a largement suffi à satisfaire notre faim mathématique pendant un moment.
Au début il n'y avait rien. Et de là rien est venu tout. Tout ce que nous pouvons observer autour de nous, mais bien sûr aussi plus que cela (pensez aux mathématiques elles-mêmes :elles ne peuvent pas être observées explicitement, mais elles existent certainement). On peut philosopher à l'infini sur qui ou quoi est la cause, mais pour un mathématicien cette création est rien que augmenter la dimension :du néant zérodimensionnel à notre monde tridimensionnel.
L'animation d'ouverture de la cérémonie d'ouverture olympique nous montre cette merveilleuse création mathématique. Un point par définition n'a ni longueur, ni largeur, ni hauteur. Nous appelons donc un point azérodimensionnel (0D). Si on ajoute une dimension, on obtient une droite ou, si l'on prend une particule d'une certaine longueur, un segment de droite (1D). Un plan, ou une partie du plan d'une certaine longueur et largeur comme le carré représenté, est alors à nouveau bidimensionnel (2D). Enfin, si on ajoute une hauteur, on obtient un cube dans l'espace tridimensionnel qui nous entoure (3D). (Les mathématiciens et les physiciens ne s'arrêtent pas là, pour eux 4, 5 ou même une infinité de dimensions sont presque quotidiennes, mais pour la géométrie élémentaire 3 dimensions suffisent.)
Ensuite, nous effectuons un zoom arrière sur le cube et nous voyons pas moins de 12 corps spatiaux flottant autour. Nous les parcourons un par un, et disons pourquoi ces corps, du moins à nos humbles yeux, sont plus intéressants que ceux au sens athlétique de ce mot.
On commence par la perfection elle-même :la sphère (n°1), définie comme l'ensemble de tous les points à une certaine distance (le rayon ) d'un point donné (le milieu ) dans un espace tridimensionnel. Perfection disons-nous, mais bien sûr les corps parfaits n'existent pas dans la réalité. La Terre, par exemple, peut sembler être une sphère de loin, mais ce n'est pas le cas. Même si l'on laisse de côté les montagnes, les canyons et les mers, la rotation sur son axe produit toujours un effet d'aplatissement autour des pôles, faisant de la Terre non pas une sphère mais une sorte d'ellipsoïde. Une balle est également utilisée dans de nombreux sports, mais rarement, voire jamais, ce sont des sphères. Un ballon de foot, un ballon de basket, un ballon de hockey, ... :tout approche ils sont sphériques du mieux qu'ils peuvent, mais ils ne sont jamais vraiment parfaitement sphériques. Ces écarts maximaux sont souvent également versés dans les règlements, par exemple dans les billards (non olympiques) :il peut y avoir des trous d'un maximum de 0,22 % du diamètre de la balle (par exemple en raison de l'usure causée par le jeu). Le relief de la terre, en revanche, la montagne la plus haute ou la mer la plus profonde, présente un écart moindre par rapport au diamètre moyen, à savoir environ 0,17 %. On peut donc dire que la terre est en un sens plus lisse est une boule de billard. Peut-être que les dieux grecs de l'Olympe joueront bientôt au billard planétaire lors de la première édition des Jeux Intergalactiques ?
Les deux corps suivants sont quelque peu liés à la sphère :le cylindre (n° 2) et le cône (n° 3). La relation peut bien sûr être trouvée à travers leur circularité et le nombre $\pi$ qui apparaît dans toutes sortes de formules d'aires et de volumes de ces corps. Par exemple, l'aire d'une sphère de rayon $r$ est égale à $A =4\pi r^2$, formule déjà connue d'Archimède. Remarquable :l'aire d'un cercle de même rayon, que l'on pourrait voir comme l'ombre de cette sphère si la source lumineuse est suffisamment éloignée, est de $\pi r^2$. En d'autres termes, l'aire d'une sphère est exactement quatre fois celle de son ombre. Que ce ne soit pas une coïncidence, a tout à voir avec un cylindre :la zone du cylindre qui s'adapte correctement autour de la sphère (en d'autres termes, avec un rayon $r$ et une hauteur $2r$), est également exactement $4\ pi r^ 2$, du moins si nous ignorons un instant les plans de masse. L'explication de cela peut être trouvée dans cette vidéo (en anglais), y compris des animations expliquant pourquoi ce sont exactement ces 4 cercles.
Nous aimerions également vous soulager de votre curiosité à propos d'une belle connexion avec le cône :si vous installez également le plus grand cône possible dans le même cylindre en même temps, il s'avère que le volume du cône plus le volume de la sphère est exactement égal au volume du cylindre. La beauté des mathématiques continue d'étonner !
Passons maintenant à une nouvelle catégorie au sein de nos solides olympiques, à savoir les numéros 4 à 8 :les solides dits platoniques, du nom du philosophe grec Platon, et également connus sous le nom de polyèdres réguliers. Ils sont toujours constitués d'un certain nombre de triangles, quadrilatères ou pentagones réguliers, tous de même taille, de sorte qu'exactement le même nombre de faces se rencontrent à chaque sommet. Ils portent le nom du nombre de faces (en grec) qu'ils contiennent :respectivement le tétraèdre (4 triangles), l'hexaèdre ou cube (6 carrés), l'octaèdre (8 triangles), le dodécaèdre (12 pentagones) et l'icosaèdre (20 Triangles). Qu'il y ait exactement cinq de ces corps a déjà été prouvé par Euclide vers 300 avant JC, et n'est pas très difficile à voir.
Supposons que nous voulions construire un tel polyèdre, regardons un sommet arbitraire. Là, au moins trois faces se rencontrent (deux faces qui se rencontrent, le font sur un côté ou une arête, pas sur un sommet), et la somme des angles de ces polygones est inférieure à 360° (car si elle est égale à 360° nous obtenir une surface plane, ce que nous ne voulons bien sûr pas). Les angles d'un triangle régulier sont de 60°, nous pouvons donc additionner 3 (3 x 60° =180°), 4 (240°) ou 5 (300°). A partir de 6 nous sommes à cette limite de 360° qu'il nous était interdit de franchir. Pour les quadrilatères réguliers (c'est-à-dire les carrés), il n'y a qu'une seule option, à savoir 3 x 90° =270°. Et aussi avec les pentagones réguliers il n'y a qu'une seule possibilité dans nos limites :3 x 108° =324°. Il n'y a donc pas d'autres options (calculez vous-même).
Ces cinq polyèdres réguliers ont été étudiés par de nombreux mathématiciens et scientifiques à travers l'histoire. Par exemple, Pythagore connaissait déjà 200 ans avant Platon et Euclide l'existence de 3 des 5 :le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre. Platon a lié les cinq corps aux cinq éléments cosmiques de l'univers :l'eau, la terre, l'air, le feu et la matière céleste. Un peu moins de 2 000 ans plus tard, c'est Kepler qui les relie à la structure du système solaire vers 1600 dans son premier livre, en particulier les cinq planètes (en plus de la Terre) connues à l'époque. Dans la nature, le tétraèdre, le cube et l'octaèdre se présentent sous forme de structures cristallines, et les virus et certaines molécules chimiques prennent aussi parfois la forme de l'un de ces cinq corps. Les fans de jeux de société rencontreront régulièrement les cinq polyèdres réguliers dans leur collection de dés, et le célèbre Rubik's Cube est également disponible dans les quatre autres formes platoniques, bien qu'il existe d'autres formes dans les deux cas qui ne sont pas des polyèdres réguliers.
En utilisant ces cinq polyèdres réguliers, nous pouvons former la prochaine catégorie de nos corps olympiques. Le numéro 9 est à savoir une combinaison de deux tétraèdres égaux, le numéro 10 est la combinaison d'un cube et d'un octaèdre, et (légèrement plus difficile à distinguer sur la figure ci-dessus) le numéro 11 est un dodcaèdre passant par un icosaèdre. Ce n'est pas un hasard si ce sont précisément ces combinaisons :ce sont les doubles paires dans les solides platoniques. Ces doubles paires ont une relation spéciale :prenez un cube, marquez les centres des six côtés et reliez-les. Vous obtenez un octaèdre (quoique plus petit). Et vice versa :les centres des côtés d'un octaèdre donnent un cube. Cela vaut également pour le duo dodécaèdre et icosaèdre. Et le tétraèdre est, étrange mais vrai, son propre corps double.
Si vous prenez maintenant une telle paire double et que vous agrandissez autant l'intérieur des deux jusqu'à ce que les côtes des deux se croisent correctement, vous obtenez les combinaisons de la cérémonie d'ouverture.
Il existe un autre moyen d'obtenir ces solides à partir des polyèdres réguliers, mais pour cela nous avons le concept de famine (en anglais :stellation ) nécessaire. Pour clarifier cela, revenons à une dimension ci-dessous, plus précisément au monde des polygones. L'étoile la plus connue est un pentagramme :prenez un pentagone régulier, et continuez de tous côtés jusqu'à ce qu'ils se croisent. Vous pouvez faire la même chose avec un hexagone, vous obtenez un hexagramme. Pour un heptagone (ainsi que pour un octogone) vous avez même deux formations d'étoiles possibles :vous obtenez la seconde en mettant davantage en vedette la première. Pour un polygone à neuf côtés, il y en a déjà trois, et cela continue encore et encore. (Cela ne fonctionnera pas pour un triangle ou un quadrilatère. Pourquoi pas ? Essayez !)
Le même processus peut être fait avec des polyèdres, mais en étendant les faces jusqu'à ce qu'elles se croisent à nouveau. C'est un peu plus difficile à imaginer, et encore moins à représenter cela à travers un dessin clair, il faudra donc nous croire sur parole ici :si vous partez d'un octaèdre, vous obtiendrez le corps n°9, également connu sous le nom de famine. sous le nom de stella octangula (Latin pour étoile à huit branches). Les n° 10 et 11 peuvent également être obtenus par famine, mais pas en partant d'un solide platonicien, mais d'un certain solide d'Archimède :le n° 10 est la première étoile d'un cuboctaèdre, et le n° 11 la première d'un icosidodécaèdre. Incidemment, de tels corps spatiaux apparaissent régulièrement dans les œuvres du célèbre artiste néerlandais M.C. Escher. Une dernière chose pour la personne créative :vous pouvez également construire vous-même la stella octangula à l'aide de ce tutoriel d'origami. Bonne chance !
Enfin, nous avons le n°12 :à retrouver en beignet dans de nombreuses boulangeries, en chambre à air dans de nombreux vélos de ville, en rond de serviette dans de nombreux établissements de restauration ou en mug à café sur le bureau de nombreux mathématiciens. Ce dernier est ce qui peut être classé sous l'humour mathématique † En effet, dans un certain domaine des mathématiques, à savoir la topologie , deux objets sont considérés comme égaux si vous pouvez sculpter l'un à partir de l'autre sans déchirer ni coller. Un tore (car c'est le nom mathématique officiel de la figure 12) et une tasse de café sont donc égaux pour les topologues, comme on peut le voir dans cette animation :
Tout comme les sports de sphère/ballon par lesquels nous avons commencé, ce dernier corps spatial de notre liste apparaît également fréquemment au sein des Jeux Olympiques (en d'autres termes, la boucle est bouclée) :l'anneau de basket, les anneaux de gymnastique, les cinq anneaux olympiques , ... (mais un ring de boxe n'est pas une bonne comparaison ici). Notez que les 12 corps (une référence subtile aux 12 dieux grecs qui habitent le mont Olympe ?) volent également dans une sorte de formation de tore lors de la cérémonie d'ouverture elle-même, avant de zoomer sur le tore lui-même. Il se transforme comme par magie en stade olympique de Tokyo, après quoi la partie en direct de la cérémonie d'ouverture pourrait commencer dans ce stade.
