Pas de public dans le stade, mais des millions de téléspectateurs devant leur écran pour la cérémonie d'ouverture des 32e Jeux olympiques de Tokyo. Un spectacle grandiose où les Japonais ont impressionné avec 1 824 drones, entre autres prouesses techniques. Pourtant, les 30 premières secondes ont suffi à combler notre appétit mathématique.
Au début, le néant. De rien surgit tout : l'univers observable, et bien plus (pensez aux mathématiques, invisibles mais réelles). Philosophes et mathématiciens s'accordent : cette création équivaut à augmenter la dimension, du point zéro-dimensionnel (0D) à notre monde tridimensionnel (3D).
L'animation d'ouverture illustre cette genèse géométrique. Un point (0D) n'a ni longueur, ni largeur, ni hauteur. Ajoutez une dimension : une droite ou un segment (1D). Puis un plan ou un carré (2D). Enfin, une hauteur forme un cube (3D). (Physiciens et mathématiciens explorent 4D et plus, mais 3D suffit ici pour la géométrie élémentaire.)
Zoom arrière sur le cube : 12 solides flottent autour. Explorons-les, plus captivants que les athlètes pour les amateurs de géométrie.
1. La sphère : perfection idéale, tous les points à distance fixe (rayon) d'un centre. En réalité, imparfaite : la Terre est un ellipsoïde aplati aux pôles. Les ballons sportifs s'en approchent, avec tolérances précises (ex. : 0,22 % pour billes de billard). La Terre, à 0,17 %, est plus "lisse" qu'une bille usagée !
2. Cylindre et 3. cône, liés par leur base circulaire et π. Aire sphérique : A = 4πr² (Archimède). Égale à quatre fois l'aire de son ombre circulaire (πr²). Un cylindre circonscrit (rayon r, hauteur 2r) a la même aire latérale. Vidéo explicative ici (en anglais).
Bonus cône : volume cône + sphère = volume cylindre inscrit. Beauté mathématique pure !
4-8. Solides platoniciens (polyèdres réguliers) : tétraèdre (4 triangles), hexaèdre/cube (6 carrés), octaèdre (8 triangles), dodécaèdre (12 pentagones), icosaèdre (20 triangles). Euclide (300 av. J.-C.) prouva leur unicité : 5 seulement.
À un sommet, ≥3 faces, angles sommant <360°. Triangles (60°) : 3-5. Carrés (90°) : 3. Pentagones (108°) : 3. Rien d'autre.
Pythagore en connaissait 3 ; Platon les lia aux éléments (eau, terre, air, feu, éther). Kepler au système solaire. Cristaux, virus, molécules, dés de jeux, Rubik's Cube : partout !
9-11. Composés : stella octangula (2 tétraèdres), cube+octaèdre, dodécaèdre+icosaèdre. Duals platoniciens (centres faces).
Agrandir duals jusqu'intersection : ces composés.
Via stellation (famine en erreur) : prolonger faces jusqu'intersection. Ex. : octaèdre → stella octangula. Escher les adore. Origami tutos existent !
12. Tore : beignet, chambre à air, anneaux olympiques/gym/basket. Topologie : équivalent tasse de café (sans couper/coller). Formation toroïdale des 12 solides → stade Tokyo.
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