Les mathématiciens peuvent ranger leurs crayons : il n'existe que quinze pentagones distincts capables de paver intégralement le plan euclidien.
Les mosaïques utilisent souvent des polygones variés, mais les motifs les plus élégants reposent sur une symétrie parfaite, comme des triangles equilatéraux ou l'alternance de pentagones et d'hexagones, visible sur un ballon de football. Il est établi que triangles et quadrilatères pavent le plan sans interstices. En 1918, le mathématicien allemand Karl Reinhardt a démontré qu'il n'existe que trois hexagones convexes aptes à ce faire, et aucun heptagone.
La question des pentagones « plane-filling » restait irrésolue jusqu'à récemment. Des découvertes sporadiques portaient le total à quinze en 2015, après trente ans d'attente entre le 14e et le 15e. Récemment, le mathématicien français Michaël Rao a clos le débat.
Rao a développé un programme exhaustif générant tous les pentagones potentiels de pavage, prouvant que leur nombre est fini. Parmi 371 familles candidates, seules 19 ont tenu, et les quatre nouveaux présumés se révélèrent des variantes des quinze existants.
Ces quinze pentagones pavent périodiquement le plan bidimensionnel. L'existence de pentagones apériodiques reste inconnue.
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