Nous vivons dans une société qui évolue de plus en plus vite et dans laquelle de plus en plus de tâches humaines sont prises en charge par les ordinateurs. On peut alors se demander si les mathématiques ont encore leur place dans une telle société, et si l'on peut aussi automatiser la tâche du mathématicien.
Le moins que l'on puisse dire, c'est que les mathématiques continueront à l'avenir de jouer le même rôle qu'elles ont toujours joué. Parce que pour de nombreux scientifiques, les mathématiques sont un langage formel, qui est utilisé pour partager les découvertes entre eux. Un langage formel non seulement universel - tout le monde sait ce que signifie la lettre grecque pi - mais aussi très efficace, car pour une raison étrange, ces symboles abstraits et ces formules mathématiques sont excellents pour résumer et communiquer des conclusions scientifiques. Alors oui, tant que les humains feront de la science, les maths feront au moins ce travail.
Mais les mathématiques sont bien sûr bien plus qu'un simple moyen de communication :c'est en fait une science en soi, avec ses propres questions, ses propres objectifs et ses propres méthodes. Maintenant, il est généralement divisé en deux grands sous-domaines :d'une part, vous avez les mathématiques pures ou fondamentales, et d'autre part, vous avez les mathématiques appliquées. Pour le mathématicien pur, cela tourne essentiellement autour de l'esthétique :pour lui, les mathématiques sont une construction abstraite, à laquelle il est très désireux de contribuer en lui opposant une proposition nouvelle. Le mathématicien appliqué y voit plutôt pragmatiquement, et se demande comment ces briques peuvent être utilisées dans un contexte concret.
Car ce qu'un mathématicien appliqué fait en réalité, c'est développer les modèles et les méthodes avec lesquels nous essayons d'appréhender notre réalité complexe. De nombreux problèmes en sciences exactes (pensez à la physique, à la chimie et à la biologie) ou en sciences économiques et même sociales donnent finalement lieu à des comparaisons. Pour les scientifiques en question, ces comparaisons en elles-mêmes sont une sorte de produit final, disons une conclusion condensée après une expérience ou une observation. Mais pour le mathématicien, elles ne sont que le début de son histoire :car les équations doivent être résolues, de préférence aussi rapidement et efficacement que possible.
Et ici le rôle de l'ordinateur est évident :c'est un allié fidèle du mathématicien appliqué. Parce que bien sûr nous ne parlons pas, par exemple, des équations quadratiques que nous apprenons tous à résoudre à l'école avec un stylo et du papier. Ce sont des systèmes d'équations tellement complexes qu'il suffit de combiner la puissance de calcul brute de l'ordinateur et des techniques mathématiques ingénieuses pour arriver ensemble à une solution.
Ou du moins une approximation de cette solution. Cela peut sembler un calcul bâclé et imprécis, mais pensez à une prévision météorologique. En substance, c'est aussi le résultat d'un modèle mathématique et de nombreux calculs, mais nous savons tous que les bulletins météorologiques ne sont pas toujours parfaits. Et c'est précisément de ce point de vue qu'il y aura toujours besoin de mathématiciens appliqués :car ces modèles et ces techniques sont toujours perfectibles. De plus, dans une société qui évolue de plus en plus vite, de nouveaux problèmes surgiront toujours - qui sont devenus douloureusement clairs avec la percée du virus corona - qui doivent également être modélisés.
La question demeure, bien sûr :qu'en est-il des mathématiques fondamentales, et qu'est-ce que les ordinateurs peuvent signifier là-bas ? Tout d'abord, il y a l'argument classique selon lequel de nombreuses applications proviennent d'un concept fondamental qui a été conçu par un pur mathématicien qui n'avait absolument aucune application en tête. Souvent, il s'agit même d'une théorie qui a été développée à une époque où il n'y avait tout simplement pas une telle application. Considérons par exemple les nombres complexes, ces fameuses racines carrées des nombres négatifs. Pour beaucoup de gens, cela peut être un vague souvenir d'un cauchemar scolaire, mais sans ces chiffres complexes, il est pratiquement impossible de modifier une photo sur Instagram avec un filtre. Ou pensez aux courbes dites elliptiques :ce sont des objets mathématiques qui vivent dans l'univers abstrait où l'algèbre et la géométrie se rencontrent. Mais ils jouent un rôle crucial dans la cryptographie, garantissant ainsi que vous pouvez effectuer des transactions sur Internet en toute sécurité.
Et pour cette seule raison, il est important que nous permettions aux mathématiques pures de jouer un rôle crucial à l'avenir :nous devons permettre aux chercheurs d'explorer les limites de nos connaissances fondamentales - et ensuite, espérons-le, de les repousser également - avec une sorte de liberté artistique, sans pression commerciale en quelque sorte. Parce qu'on ne sait jamais à l'avance quand un concept fondamental se réincarnera en solution à un problème concret.
Maintenant, vous pourriez dire "D'accord, laissons les mathématiciens purs travailler sur la route". Mais peut-être qu'un jour un mathématicien annoncera fièrement :chers collègues, le temps est venu, les mathématiques sont terminées, nous avons maintenant trouvé une preuve pour tous les théorèmes mathématiques.
Pour commencer :si cette pièce existe réellement, ce ne sera pas dans un avenir prévisible. Il existe encore de nombreux problèmes dits ouverts, pour lesquels nous n'avons toujours pas de réponse concluante. La plupart de ces problèmes sont très techniques et complexes, mais la soi-disant conjecture de Goldbach en est un exemple simple.
Cette conjecture dit que tout nombre pair (supérieur à deux, c'est une petite exception) peut être écrit comme une somme de 2 nombres premiers. Prenez votre nombre pair préféré - dans mon cas, c'est 42 - alors il peut être écrit comme la somme de 2 nombres premiers :par exemple 42 =23 + 19. Avec l'ordinateur, ils ont vérifié cela pour les nombres pairs au-delà d'un billion, qui sont donc des nombres à 18 chiffres, mais toujours aucune exception n'a été trouvée. Cependant, ce n'est pas une preuve, cela ne fait que renforcer notre conviction que la conjecture pourrait bien être correcte. Mais tant que personne ne trouve une explication logique concluante, c'est et reste une conjecture.
Dans le cas de la conjecture de Goldbach, un ordinateur ne peut pas réellement nous aider, car il ne peut pas fournir de preuve formelle, mais cela ne signifie pas que l'ordinateur ne peut pas fournir de percées en mathématiques pures. Par exemple, il y a pas mal de conjectures mathématiques que nous avons réduites avec la pensée théorique à vérifier « une liste finie de cas ». Donc, fondamentalement, il suffit de vérifier ces cas, une tâche dans laquelle l'ordinateur peut certainement nous aider, et à la fin de cette vérification, nous pouvons alors conclure une fois pour toutes si la conjecture est vraie ou non. Et puis vous pensez probablement :qu'attendez-vous ? Eh bien, je l'appelle "une liste finie", mais c'est un euphémisme :cela implique généralement un nombre gigantesque de possibilités, ce qui rend la vérification de cette liste impossible, même pour les ordinateurs d'aujourd'hui. Il devrait compter presque littéralement jusqu'à la fin des temps. Et c'est donc là que surgit une course passionnante :d'un côté vous avez les ingénieurs, physiciens et informaticiens qui tentent d'optimiser la puissance de calcul des ordinateurs (avec ou sans supercalculateurs ou encore ordinateurs quantiques), et de l'autre vous ont les mathématiciens purs qui essaient alors d'ignorer la liste et de chercher une autre technique.
Mais en dehors de cette question technique, à savoir la puissance de calcul des ordinateurs, il y a aussi 2 questions fondamentales que je voudrais clarifier. Pour commencer, vous avez le soi-disant théorème d'incomplétude de Gödel , qui fait exactement ce qu'il annonce :Gödel a montré, dans un cadre logique strictement défini, que les mathématiques ne peuvent jamais être complètes. Ainsi, il ne viendra tout simplement pas un jour où nous pourrons prétendre que nous avons une preuve pour tous les vrais théorèmes mathématiques. C'est un résultat pour le moins bizarre :le théorème de Gödel est un théorème mathématique qui dit quelque chose sur les mathématiques - comme le serpent qui se mord la queue. Les détails de cette proposition sont, bien sûr, extrêmement complexes, mais le principe derrière le raisonnement de Gödel est très simple :l'auto-référence. C'est un principe général, qui apparaît également dans, par exemple, l'humour, la philosophie et la linguistique. Mais c'est généralement un destructeur principe, car il conduit souvent à des paradoxes et à des situations absurdes. Pensez à l'affirmation « cette phrase est fausse » :si cette affirmation est vraie, alors elle dit d'elle-même qu'elle est fausse. Mais si l'énoncé est faux, alors il devient un énoncé vrai. C'est donc un paradoxe. Le génie du théorème de Gödel est qu'il n'est pas un paradoxe :au contraire, il a utilisé le pouvoir de l'auto-référence pour prouver l'un des théorèmes les plus étonnants de l'histoire des mathématiques :les mathématiques montrant par elles-mêmes qu'elles ne sont jamais complètes. pourrait être.
Tout aussi fascinant est le travail d'Alan Turing, que vous connaissez peut-être grâce au film The Imitation Game, et les personnes qui ont construit sa théorie. Ils ont montré qu'il y aura toujours des problèmes mathématiques que vous ne pourrez jamais résoudre avec une machine qui utilise un algorithme - disons un ordinateur. Pour être clair, cela n'a absolument rien à voir avec un manque de puissance de calcul, c'est une question de principe. Nous, les humains, avons pu inventer des problèmes mathématiques avec notre cerveau qui sont si complexes qu'ils tomberont une fois pour toutes hors de portée des ordinateurs.
Donc, en résumé, les ordinateurs joueront bien sûr un rôle en mathématiques :pour les mathématiciens appliqués, ils sont de toute façon des alliés, et si nous augmentons la puissance de calcul, ils peuvent conduire à des percées même en mathématiques pures. Mais en même temps, nous avons montré de la manière la plus élégante qui soit – la manière mathématique – qu'ils ne pourront jamais résoudre tous les problèmes d'un mathématicien.
Alors oui, maths superflues ? Je ne pense pas.
Ce blog est basé sur la conférence que David Eelbode a donnée aux Brainwash Talks de deBuren
https://www.human.nl/brainwash/kijk/overzicht/brainwash-talks/2020/22-maart.html
